Berikut saya posting 5 soal tentang terapan turunan dalam masalah pengoptimuman. Terapan turunan dalam hal masalah pengoptimuman termasuk ke dalam materi kalkulus.
Tanpa penjelasan yang panjang lagi, berikut 5 nomor soal mengenail masalah pengoptimuman..
Nomor 1
Soal: Seorang petani bermaksud memagari tiga kandang persegi panjang berdampingan yang identik dengan luas keseluruhan 300 meter persegi. Tentukan panjang dan lebar setiap kandang sehingga pagar kawat yang diperlukan sedikit mungkin.
Jawab:
Misalkan: Gambar tiga kandang yang identik, misal x dan y adalah ukuran satu kandang.
Diketahui luas keseluruhan kandang adalah 300 meter persegi, sehingga
3xy = 300
y = (300/3x) = (100/x)
Misalkan lagi, K adalah panjang kawat pembuat pagar tiga kandang yang identik, maka:
K = 6x + 4y = 6x + 4(100/x) = 6x + (400/x)
Untuk menentukan nilai minimum:
\(K'(x)=6-\frac{400}{x^{2}}=\frac{6x^{2}-400}{x^{2}}\)
K'(x) = 0 bila
\(6x^{2}=400\rightarrow 3x^{2}=200\rightarrow x^{2}=\frac{200}{3}\rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{200}{3}}\)
Karena x >= 0, maka:
\(x=\sqrt{{\frac{200}{3}}}\)
Ini menunjukkan bahwa \(x=\sqrt{{\frac{200}{3}}}\) adalah satu-satunya bilangan kritis dari fungsi K. Jika \(0<x<\sqrt{{\frac{200}{3}}}\) maka K'(x) > 0, dan bila \(x>\sqrt{\frac{200}{3}}\) maka K'(x) < 0. Ini berarti K mencapai minimum mutlak di \(x=\sqrt{\frac{200}{3}}\)
Jika \(x=\sqrt{\frac{200}{3}}\) maka:
\(y=\frac{100}{\sqrt{\frac{200}{3}}}=\frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{200}}=\frac{100\sqrt{3}}{10\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
Jadi ukuran setiap kandang adalah :
\(\sqrt{\frac{200}{3}}\times \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
Nomor 2
Soal: Penerimaan (T) dan pengeluaran (K) pengusaha kerupuk adalah:
T(x)=1500x-4x², K(x)=x²+500x+20000
Tentukan berapa banyak paket kerupuk yang harus diproduksi sehingga keuntungan pengusaha tersebut maksimum.
Catatan: Keuntungan = Penerimaan – Pengeluaran
Jawab:
Keuntungan = Penerimaan – Pengeluaran. Sehingga keuntungan pengusaha tersebut adalah:
U(x)=T(x)-K(x)
=(1500x-4x²)-(x²+500x+20000)
=1000x-5x²-20000
Bilangan kritis fungsi U adalah:
\(U'(x)=0 \rightarrow 1000-10x=0\rightarrow x=100\)
x = 100 merupakan satu-satunya bilangan kritis.
Cek nilai maksimum:
Karena x = 100 adalah satu-satunya bilangan kritis, kemudian jika x < 100 maka U'(x)>0 dan bila x > 100 maka U'(x) < 0, maka U(100) merupakan nilai maksimum mutlak. Jadi agar diperoleh keuntungan maksimum, kerupuk yang harus diproduksi adalah 100 paket.
Pelajari Juga: Turunan – Asimtot dan Masalah Pengoptimuman
Nomor 3
Soal: Virus flu burung menyerang suatu komunitas tertentu sedemikian sehingga setelah t bulan dari ditemukannya virus tersebut, P% populasi terinfeksi dengan \(P(t)=\frac{10t^{2}}{(1+t^{2})^2}\).
Tentukan t sehingga presentasi populasi (P) yang terinfeksi mencapai maksimum dan tentukan nilai maksimum tersebut.
Jawab:
\(P(t)=\frac{10t^{2}}{(1+t^{2})^2}\)
\(P'(t)=\frac{20t(1+t^{2})^{2}-10t^{2}(2)(1+t^{2})(2t)}{(1+t^{2})^4}\)
\(=\frac{(1+t^{2})[20t(1+t^{2})-40t^{3}]}{(1+t^{2})^4}\)
\(=\frac{20t-20t^{3}}{(1+t^{2})^3}\)
\(=\frac{20t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^3}\)
P'(t) = 0 untuk t = 0, t = 1 atau t = -1. Karena t > 0 maka bilangan kritis fungsi P adalah t = 1. Perhatikan bahwa P fungsi kontinu dengan hanya satu bilangan kritis untuk t > 0, dan
++++ – – – –
Tanda P’ ————————–
0 1
maka P mencapai maksimum mutlak di t = 1 dengan nilai maksimumnya P(1) = 10/4 = 2,5 %
Nomor 4
Soal: Seorang simpatisan partai politik akan menempel poster partainya pada tembok sebuah gedung tinggi. Pada jarak 8 meter di depan gedung tersebut terdapat pagar setinggi 1 meter. Simpatisan tersebut akan membuat tangga yang menghubungkan jalan di luar pagar dengan tembok tinggi tersebut. Tentukan panjang minimu tangga yang diperlukan simpatisan tersebut.
Jawab:
Misalkan l adalah panjang tangga. Maka:
\(l^{2}=y^{2}+(8+x)^{2 }\)
\(=\left ( \frac{8+x}{x} \right )^{2}+(8+x)^{2}\)
\(=\left ( \frac{8}{x}+1 \right )^{2}+(8+x)^{2}\)
Dari segitiga sebangun diperoleh:
\(\frac{y}{l}=\frac{8+x}{x}\)
Misalkan p(x) = l² maka:
\(p(x)=\left ( \frac{8}{x}+1 \right )^{2}+(8+x)^{2}\)
\(p'(x)=2x+\frac{1}{x^{3}}(-16x-128)+1\)
\(=\frac{2x^{4}-16x-128+16x^{3}}{x^{3}}\)
\(=\frac{2(x+8)(x^{3}-8)}{x^{3}}\)
p'(x) = 0 maka x = -8 (tidak memenuhi karena negatif) atau x = 2
Jadi, jika x = 2 merupakan satu-satunya bilangan kritis dari fungsi p.
Perhatiakan bahwa:
p'(x) < 0 untuk x < 2 dan
p'(x) > 0 bila x > 2
Sehingga p mencapai minimum global/ mutlak di x = 2, maka:
\(y=\frac{10}{2}=5\)
\(l^{2}=y^{2}+(8+x)^{2}=125\rightarrow l=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)
l merupakan panjang tangga minimum yang dibutuhkan simpatisan tersebut.
Nomor 5
Soal: Suatu kotak tertutup berbentuk balok dengan volume 400 cm kubik mempunyai alas berbentuk persegi (bujur sangkar). Harga bahan untuk membuat bagian tutup dan bagian alas kotak adalah 1000 rupiah per cm persegi, sedangkan harga bahan untuk bagian untuk bagian dinding (samping) adalah 540 rupiah per cm persegi. Tentukan ukuran kotak tersebut agar biaya bahan yang diperlukan minimum.
Jawab:
Misalkan:
x adalah panjang sisi alas
h adalah tinggi balok
V adalah volume balok
Maka:
\(V =x^{2}h\Rightarrow 400=x^{2}h\Rightarrow h=\frac{400}{x^{2}}\)
Misalkan biaya yang harus dikeluarkan untuk membuat kotak adalah B(x), maka:
\(B(x)=1000(2x^{2})+540(4x\frac{400}{x^{2}})=2000x^{2}+\frac{864000}{x}\)
\(B'(x) = 4000x-\frac{864000}{x^{2}}=\frac{4000x^{3}-864000}{x^{3}}\)
dan bila B'(x) = 0 maka x = 6
Jadi x = 6 merupakan satu-satunya bilangan kritis fungsi B. Jika:
x < 6 maka B'(x) < 0
x > 6 maka B'(x) > 0
sehingga B(6) merupakan nilai minimum global dari fungsi B.
Jika x = 6 cm maka h = 400/36. Sehingga ukuran kotak adalah sisi alas 6 cm dan tinggi 400/36 cm.
Demikian Contoh Soal Terapan Turunan dan Penyelesaiannya. Semoga bermanfaat.
