Soal dan Jawaban Turunan dan Laju Terkait

Untuk materi atau pembahasan tentang laju terkait, Gengs dapat mempelajarinya DISINI.

Jawab b:
Diketahui tinggi tabung adalah 8 cm dan laju naiknya tinggi permukaan air adalah 1/π cm/detik, sehingga agar tabung penuh diperlukan waktu 8π detik

Nomor  3

Soal: Spongebob adalah makhluk laut yang berbentuk balok. Jika ada di daratan, Spongebob mampu minum [menyerap] air dengan laju 3 cm³/detik. Bersamaan dengan itu, badannya membesar dengan bentuk dan perbandingan panjang, lebar dan tebalnya tetap. Jika diketahui ukuran panjang 2 cm, lebar 2 cm dan tebalnya 1 cm. Maka tentukan laju perubahan luas tubuh Spongebob pada waktu tebal tubuhnya 2 cm.

Jawab:
Misalkan:
t : waktu dalam detik,
p(t) : panjang tubuh Spongebob pada waktu t,
l(t) : lebar tubuh Spongebob pada waktu t,
h(t) : tebal tubuh Spongebob pada waktu t,
V(t) : volume air yang masuk ke dalam tubuh Spongebob pada saat t,
L(t) : luas permukaan tubuh Spongebob pada saat t,

Diketahui:
dV(t)/dt = 3 cm³/detik
p(t) : l(t) : h(t) = 2 : 2 : 1  ===> p(t) = l(t) = 2h(t)
Ditanyakan : dL(t)/dt pada saat h = 2

Karena tubuh Spongbob berbentuk balok, maka:
V = plh = (2h)(2h)h = 4h³
dV/dt = 12 ⨯ h²⨯ dh/dt
3     =12⨯ h² ⨯ dh/dt  ===> dh/dt = 1/4 h²
Luas permukaan :
L = 2pl + 2hl + 2ph
= 2(2h)(2h)  + 2h(2h) + 2(2h)h = 16 h²
dL/dt = 32 dh/dt = 32h (1/4  h²) = 8/h
Pada saat h = 2, dL/dt = 4 cm²/detik

Nomor 4

Soal: Dua mahasiswa Sinta dan Jojo berdiri terpisah dengan Jojo berada 30 meter di sebelah timur Sinta. Sinta kemudian bersepeda ke utara dengan kecepatan 5 meter/detik dan 5 menit kemudian Jojo bersepeda ke selatan dengan kecepatan 3 meter/detik. Berapa jauh perubahan jarak antara keduanya 10 menit setelah Sinta mulai mengayuh sepeda?

Jawab:
Misalnya:
g(t) adalah jarak yang sudah ditempuh Sinta pada saat t,
k(t) adalah jarak yang sudah ditempuh Jojo pada saat t,
z(t) adalah jarak antara Sinta dan Jojo pada saat t,

Diketahui:
dg/dt = 5 meter/detik
dk/dt = 3 meter/detik
Yang ditanyakan: dz/dt pada saat Sinta sudah bersepeda selama 10 menit [atau selama Jojo bersepeda selama 10 – 5 = 5 menit]

Menurut Teotema Phytagoras, hubungan antara g, k dan z diberikan oleh:
z² = (g + k)² + 30²   <====>    2z dz/dt = 2(g + k) (dg/dt + dk/dt)
<====>    dz/dt = (g + k)/z (dg/dt + dk/dt)
Jarak yang ditempuh Sinta setelah bersepeda selama 10 menit:
g = 5 . (10 . 60) = 3000 meter

Jarak yang ditempuh Jojo setelah bersepeda selama 5 menit:
k = 3 . (5 . 60) = 900 meter
Pada saat g = 3000 meter dan k = 900  meter,  diperoleh:
z = √( (g + k)² + 30² ) = √( (3000 + 900)² + 30² ) = 30√16901
Sehingga,
dz/dt = (g + k)/z (dg/dt +dk/dt)
= (3000 + 900)/(30√16901) . (5 + 3) = 8 meter/detik

Nomor 5

Soal: Ketika sedang menyaksikan suatu pameran kedirgantaraan, Mr Rate melihat sebuah pesawat tempur (P)  melintas lurus di depannya dengan laju 500 km/jam. Jarak terdekat lintasan pesawat tersebut terhadap penonton  (Mr Rate, R)  adalah 0,5 km.
a.  Tentukan laju sudut pandang penonton pesawat dari garis lurus yang tegak lurus terhadap lintasan pesawat (\(\theta\))  terhadap waktu t, yaitu d\(\theta\)dt, sebagai fungsi dari $theta$.
b.  Tentukan nilai maksimum dari d\(\theta\)dt

Jawab a :
Misalkan:
x adalah jarak yang ditempuh pesawat dari titik yang berada tepat 0,5 km di ayar R,  maka:
tan \(\theta\) = x/0,5 =2x
Jika kedua ruas diturunkan terhadap t, akan diperoleh:
\(Sec^2 \theta\) d\(\theta \)dt = 2 dx/dt = 2 (500) = 1000
\(d\theta\)/dt      = (1000/\(sec^2\)) = 1000 \(cos^2 \theta\)

Jawab b :
Karena nilai maksimum dari  cos² $theta$ adalah 1 maka nilai maksimum dari d\(\theta\)/dt adalah 1000(1) = 1000 rad/jam.

Demikian “https://sheetmath.com/2017/02/contoh-soal-dan-jawaban-turunan-dan-laju-terkait.htmlSoal dan Jawaban Turunan, Laju Yang Terkait”. Semoga Bermanfaat.