Matematika memiliki banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pemangkatan dan penarikan akar. Dalam setiap kasus, operasi kedua”menghapuskan” operasi yang pertama, dan sebaliknya. Salah satu manfaatnya adalah kegunaannya dalam menyelesaikan suatu persamaan. Misalnya untuk memecahkan, kita melakukan penarikan akar. Sebelumnya pasti kita telah mengetahui turunan suatu fungsi. Jika kita bermaksud menyelesaikan persamaan yang melibatkan turunan, maka kita memerlukan operasi balikannya, yaitu anti turunan atau integrasi.
Dengan turunan dan anti turunan kita dapat menyelesaikan banyak masalah antara lain: penentuan ketinggian pesawat ulang-aling pada waktu tertentu, penentuan konsumsi energi di Jakarta pada suatu hari, peramalan jumlah populasi (penduduk, bakteri, dll.) dimasa yang akan datang, dan lain sebagainya. Jadi misalkan diberi turunan suatu fungsi, bagaimana caranya mencari fungsi yang memenuhinya??
Integral Tak tentu
(Anti turunan) Fungsi F disebut anti turunan dari f pada selang I jika F'(x) = f(x) untuk setiap x anggota di I.
(Anti turunan) Fungsi F disebut anti turunan dari f pada selang I jika F'(x) = f(x) untuk setiap x anggota di I.
Ilustrasi:
\(f(x)=x^{3}\Rightarrow F(x)=\frac{1}{4}x^{4}\)
\(f(x)=x^{3}\Rightarrow F(x)=\frac{1}{4}x^{4}+5\)
\(f(x)=\cos x\Rightarrow F(x)=\sin x\)
\(f(x)=\cos x\Rightarrow F(x)=\sin x+C\)
Contoh Soal 1:
Tunjukan bahwa \(F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+5x+2\) merupakan anti turunan dari fungsi f(x)=x²+5
Pembahasan:
F merupakan anti turunan dari fungsi f jika F'(x) = f(x). Perhatikan, karena
F'(x)=x² +5=f(x)
maka F merupakan anti turunan dari f.
Suatu fungsi dapat mempunyai lebih dari satu anti turunan. Dari contoh soal di atas, \(G(x)=\frac{1}{3}x^{3}+5x+20\) atau \(H(x)=\frac{1}{3}x^{3}+5x-25\) juga merupakan antiturunan dari f.
Jika F anti turunan dari f pada selang I, maka anti turunan dari f yang paling umum adalah F(x) + C, dengan C merupakan konstanta sembarang.
Jika F anti turunan dari f pada selang I, maka anti turunan dari f yang paling umum adalah F(x) + C, dengan C merupakan konstanta sembarang.
Contoh Soal 2:
Periksa dengan pendiferensialan bahwa rumus berikut benar:
1. \(\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\sqrt{x^{2}+1}+C\)
2. \(\int x \cos x dx=x \sin x+ \cos x+C\)
Pembahasan:
1. Karena
\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}+1}+C \end{pmatrix}=\frac{1}{2}(x^{2}+1^{-1/2})(2x)\)
\(=\frac{2x}{2(x^{2}+1)^{1/2}}\)
\(=\frac{x}{(x^{2}+1)^{1/2}}\)
Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\sqrt{x^{2}+1}+C\)
maka pemeriksaan kita telah terbukti.
2. Karena
\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x \sin x+ \cos x+C)= \sin x+x \cos x- \sin x\)
\(=x \cos x\)
Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\int x \cos x dx=x \sin x+ \cos x+C\)
maka pemeriksaan kita telah terbukti.
Beberapa anti turunan fungsi yang sering digunakan diberikan sebagai berikut: ( Dengan k, C adalah konstanta dan F'(x) = f(x), G(x)’ = g(x) )
No Fungsi Anti turunan
1 k f(x) kF(c) + C
2 f(x)\(\pm \) g(x) F(x)\(\pm\) G(x)
3 \(x^{n},n\neq -1\) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
4 sin x – cos x + C
5 cos x sin x + C
6 \(\sec ^{2}x\) tan x + C
7 \(\csc ^{2}x\) – cot x + C
8 sec x tan x sec x + C
9 csc x cot x – csc x + C
Lambang Anti turunan
Pada turunan kita biasanya menggunakan lambang Dₓ untuk turunan suatu fungsi terhadap x. Dengan semangat yang sama, lambang anti turunan terhadap x dituliskan sebagai Aₓ. Jadi, jika F anti turunan f maka dapat ditulis sebagai:
Aₓf(x)=F(x)+C
Selain menggunakan notasi di atas, notasi yang lebih sering atau umum adalah dengan menggunakan notasi Leibniz yang selanjutnya dikenal sebagai integral tak tentu, yaitu jika F anti turunan f maka dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\int f(x)dx=F(x)+C\)
(Integral Tak tentu) Misalkan F adalah anti turunan f. Integral tak tentu f(x) terhadap x adalah
(Integral Tak tentu) Misalkan F adalah anti turunan f. Integral tak tentu f(x) terhadap x adalah
\(\int f(x)dx=F(x)+C\)
Catatan:
1. Hasil integral tak tentu berupa suatu fungsi, sedangkan hasil integral tentu berupa suatu bilangan.
2. Integral tak tentu adalah lambang lain dari anti turunan
Contoh Soal 3:
Tentukan:
\(\int (x^{2}+2x+\frac{2}{x}+ \sin x+e^{x}+2)dx\)
Pembahasan:
\(\int (x^{2}+2x+\frac{2}{x}+\sin x+e^{x}+2)dx\)
\(=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+2\ln |x|-\cos x+e^{x}+2x+C\)
Contoh Soal 4:
Tentukan:
\(\int (1-t)(2+t^{2})dt\)
Pembahasan:
\(\int (1-t)(2+t^{2})dt\)
\(=\int (2+t^{2}-2t-t^{3})dt\)
\(=2t+\frac{1}{3}t^{3}-t^{2}-\frac{1}{4}t^{4}+C\)
Contoh Soal 5:
Tentukan:
\(\int (x^{2}+2x+1)\begin{pmatrix} \frac{1}{x} \end{pmatrix}dx\)
Pembahasan:
\(\int (x^{2}+2x+1)\begin{pmatrix} \frac{1}{x} \end{pmatrix}dx\)
\(=\int \begin{pmatrix} x+2+\frac{1}{x} \end{pmatrix}dx\)
\(=\frac{1}{2}x^{2}+2x+\ln |x|+C\)
Contoh Soal 6:
Tentukan:
\(\int \begin{pmatrix} \frac{3-x^{2}+2\sqrt{x}}{x^{2}} \end{pmatrix}dx\)
Pembahasan:
\(\int \begin{pmatrix} \frac{3-x^{2}+2\sqrt{x}}{x^{2}} \end{pmatrix}dx\)
\(=\int \frac{3}{x^{2}}dx-\int \frac{x^{2}}{x^{2}}dx+\int \frac{2\sqrt{x}}{x^{2}}dx\)
\(=\int 3x^{-2}dx-\int 1dx+\int 2x^{-3/2}dx\)
\(=-3x^{-1}-x+2(-2)x^{-1/2}+C\)
\(=\frac{-3}{x}-x-4x^{-1/2}+C\)
Integral Tentu
Jika suatu integral dihitung pada interval tentu, maka integral tersebut diberi batas pengintegralan dan dinamakan Integral Tentu. Aturan perhitungan integral tentu dan sifat-sifat integral adalah sebagai berikut:
(Teorema Dasar Kalkulus) Misalkan F'(x) = f(x) maka \(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, untuk mengevaluasi integral tentu f pada selang [a,b] dilakukan dengan cara sebagai berikut:
1. Tentukan anti turunan dari fungsi f, yaitu F
2. Evaluasi/hitung F(b) – F(a)
Contoh Soal 7:
Hitunglah
\(\int_{-1}^{2}(4x-6x^{2})dx\)
Pembahasan:
\(\int_{-1}^{2}(4x-6x^{2})dx\)
\(=4\int_{-1}^{2}xdx-6\int_{-1}^{2}x^{2}dx\)
\(=4\begin{pmatrix} \frac{4}{2}-\frac{1}{2} \end{pmatrix}-6\begin{pmatrix} \frac{8}{3}+\frac{1}{3} \end{pmatrix}\)!
= -12
Sifat-sifat Integral Tentu
1. \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx;b> a\)
2. \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)
3. \(\int_{a}^{b}cdx=c(b-a)\)
4. \(\int_{a}^{b}cf(x)=c\int_{a}^{b}f(x)dx; c konstanta\)
5. \(\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx\)
\(=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx\)
6. \(\int_{a}^{b}f(x)dx+ \int_{b}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx\)
Contoh Soal 8:
Diketahui \(\int_{0}^{2}f(x)dx=4\) dan \(\int_{2}^{0}(g(x)-f(x))dx=5\).
Gunakan sifat-sifat integral untuk menghitung:
a. \(\int_{2}^{0}(2f(x)-3)dx\)
b. \(\int_{0}^{2}g(x)dx\)
Pembahasan:
a. Untuk bagian pertama diperoleh sebagai berikut:
\(\int_{2}^{0}(2f(x)-3)dx=-\int_{0}^{2}(2f(x)-3)dx\)
\(=-\int_{0}^{2}2f(x)dx+\int_{0}^{2}3dx\)
\(=-2\int_{0}^{2}f(x)dx+3(2-0)\)
= -2 x 4 + 6
= -2
b. Untuk bagian kedua diperoleh sebagai berikut:
Diketahui \(\int_{2}^{0}(g(x)-f(x))dx=5\) maka:
\(\int_{0}^{2}(g(x)-f(x))dx=-5\)
\(\int_{0}^{2}g(x)dx-\int_{0}^{2}f(x)dx=-5\)
\(\int_{0}^{2}g(x)dx=-5+\int_{0}^{2}f(x)dx\)
= -5 + 4
= -1
Pelajari lebih banyak contoh soal dan penyelesaian tentang Integral Tak tentu dan Integral Tentu:
Contoh Soal 9:
Tentukan \(\int_{-2}^{4}f(x)dx\) dengan:
\(f(x)=\left\{\begin{matrix} x-1 &x\geq 1 \\ 1-x &x< 1 \\ \end{matrix}\right.\)
Pembahasan:
\(\int_{-2}^{4}f(x)dx\)
\(=\int_{-2}^{1}(1-x)dx+\int_{1}^{4}(x-1)dx\)
\(=[(1-\frac{1}{2})-(-2-2)]+[(8-4)-(\frac{1}{2}-1)] = 9\)
Demikian pembahasan kita tentang “Rangkuman, Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tak Tentu dan Integral Tentu“. Semoga bermanfaat
