Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Kuadrat

Tanpa basa-basi, berikut ini adalah contoh-contoh soalnya beserta pembahasannya.
Selamat berlatih.

Contoh 1
Soal: Jika suatu gambar adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (-9,0) dan melalui titik (0,-6) maka nilai f(-1) adalah??
Jawab:
Diketahui titik puncak (xₚ,yₚ) = (-8,0) melalui titik (x,y) = (0,-2).
Rumus yang akan kita gunakan yaitu:
y = f(x) = a(x – xₚ)² + yₚ
Mengapa kita menggunakan rumus tersebut? Karena titik puncaknya telah diketahui.
Selanjutnya kita akan mencari nilai a sebagai berikut
y = f(x) = a(x – xₚ)² + yₚ
-2 = a(0+8)² + 0
-2 = 64a
a = -32

Dengan demikian
f(x) = -(x + 9)
Saat x = -1 atau f(-1) sebagai berikut
f(-1) = – (-1 + 9) = -8

Contoh 2
Soal: Tentukan koordinat titik balik dari fungsi kuadrat yang persamaannya sebagai  berikut

f(x) = 2 (x + 2)² + 3
Jawab:
Jika kita perhatikan soal tersebut, ternyata fungsi kuadratnya belum dalam bentuk ax² + bx + c oleh karena itu pertama-tama kita uraikan fungsi kuadrat tersebut.
f(x) = 2 (x + 2)² + 3
= 2 [x² + 4x + 4] + 3
= 2x² + 8x + 8 + 3
= 2x² + 8x +11
Nahhhhh setelah kita ubah bentuknya, kita bisa mengetahui nilai dari a dan b, sebagai berikut:
a = 2 dan b = 8Selanjutnya, kita akan menentukan titik balik fungsi kuadrat tersebut.
Untuk menentukannya, kita akan menggunakan rumus berikut ini:

Pertama-tama kita akan mencari nilai x-nya.
x = -b/2a
= -8/2.2
= -8/4
= -2
Setelah menentukan nilai x, selanjutnya akan dicari nilai y.
y = f(-b/2a)
= f(-8/2.2)
= f(-2)
y = 2(-2)² + 8(-2) + 11
= 2(4) – 16 + 11
= 8 – 16 + 11
= 3
Dengan demikian, titik balik fungsi kuadrat 2 (x + 2)² + 3 adalah (x,y) = (-2,3)

Contoh 3
Soal: Fungsi kuadrat f(x) = x² + 2qx + q mempunyai nilai minimum -q dengan q#0. Jika sumbu simetri kurva f adalah x = a, maka nilai a + f(a) adalah…??
Jawab:
Agar lebih mudah dalam menjawab, pertama-tama kita tuliskan dahulu apa saja yang telah diketahui dari soal.
Diketahui:
f(x) = x² + 2px + p
nilai minimum -p dengan p#0
a = 1, b = 2q dan c = q
Setelah itu kita mencari nilai q dengan rumus sebagai berikut.

Nahhhh karena pada soal telah diketahui bahwa nilai minimum adalah -q maka kita dapat modifikasi rumus di atas menjadi
-q = D/-4a
Setelah itu, dengan mudah kita akan menentukan nilai q-nya.
-q   = [b² – 4ac]/-4a
-q   = [(2q)² – 4(1)(q)] / -4(1)
-q   = [4q² -4q] / -4
4q  = 4q² – 4q
4q² – 4q – 4q = 0
4q² – 8q = 0
4q (q – 2) = 0
4q = 0
q = 0, atau
q – 2 = 0
q = 2
Setelah kita mendapatkan nilai q, selanjutnya kita substitusikan nilai q tersebut ke fungsi awal yang diberikan pada soal.
f(x) = x² + 4x + 2
Kemudian kita cari nilai $x_min$ atau a.
$x_{min}$ = -b/2a
= -4/2.1
= -2
Selanjutnya kita tentukan nilai dari f(x_min) atau f(a)
f($x_{min}$) = f(-2) = (-2)² + 4(-2) + 2 = 4 – 8 + 2 = -2 = f(a)
Karena f(a)-nya telah kita peroleh, maka dengan mudah kita dapat tentukan a + f(a) sebagai berikut:
a + f(a) = -2 + (-2) = -4

Contoh 4
Soal: Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x² – x – 2 dengan sumbu-x dan sumbu-y.
Jawab:
Suatu titik potong sumbu-x dapat dengan mudah ditentukan apabila y = 0. Maka kita akan buat seperti berikut:
y = 3x² – x – 2
3x² – x – 2  = 0
(3x + 2)(x – 1) = 0
3x + 2 = 0
3x = -2
x = -2/3, atau
x – 1 = 0
x = 1
Dengan demikian,  titik potong sumbu-x adalah (-2/3,0) dan (1.0)

Selanjutnya kita akan tentukan titik potong sumbu-y. Titik potong sumbu-y dapat dengan mudah ditentukan apabila x = 0, sebagai berikut.
y = 3x² – x – 2
y = 3(0²) – 0 – 2
y = -2
Dengan demikian, titik potong sumbu-y adalah (0,-2)

Contoh 5
Soal: Berapakah nilai m yang memenuhi agar persamaan garis y = -2x + 3 dapat menyinggung parabola y = x² + (m – 1)x + 7 ??
Jawab:
Diketahui:
Persamaan garis y = -2x + 3
Persamaan parabola y = x² + (m – 1)x + 7
Untuk mengerjakan soal ini, kita buat menjadi:
Persamaan garis = Persamaan parabola
x² + (m – 1)x +7 = -2x + 3
x² + (m – 1)x + 2x + 7 – 3 = 0
x² + mx – x + 2x + 4 = 0
x² + mx + x + 4 = 0
x² + x(m + 1) + 4 = 0
Dari persamaan di atas yang telah kita peroleh, kita dapat mengetahui nilai a, b dan c sebagai berikut:
a = 1, b = m + 1 dan c = 4
Naahhhh sesuai dengan pertanyaan pada soal… kita diperintahkan untuk mencari nilai m yang dapat menyinggung DAN kita tahu bahwa syarat menyinggung adalah D = 0. Dengan demikian:
D = 0
b² – 4ac = 0
(m + 1)² – 4ac = 0
m² + m + m + 1 – 4(1)(4) = 0
m² + 2m + 1 – 16 = 0
m² + 2m – 15 = 0
(m + 3) (m + 5) = 0
m + 3 = 0
m = -3, atau
m + 5 = 0
m = -5
Dengan demikian nilai m yang menyinggung adalah -3 atau -5.

Contoh 6
Soal: Tentukan titik puncak dari persamaan parabola berikut {(x,y) | y = 2x² – 12x + 14.
Jawab:
y = 2x² – 12x + 14
Dari persamaan tersebut kita dapat menentukan nilai a, b dan c sebagai berikut.
a = 2, b = -12 dan c = 14
Dengan demikian kita dengan mudah dapat menentukan titik puncaknya (xₚ,yₚ).
(xₚ,yₚ) = (-b/2a , D/-4a)
Sehingga,
xₚ = -b/2a
= -(-12)/2.(2)
= 12/4
= 3
yₚ = D/-4a
= (b² – 4ac) / -4a
= [(-12)² – 4(2)(14)] / -4(2)
= (144 112) / -8
= 32/-8
= -4
Jadi titik puncak dari persamaan y = 2x² – 12x + 14 adalah (xₚ,yₚ) = (3 , -4)

Contoh 7
Soal: Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x² – 20x + 1
Jawab:
Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dihitung dengan rumus x = -b/2a. Dari fungsi kuadrat pada soal di peroleh:
a = 5 dan b = -20
Sehingga
x = -b/2a
= -(-20)/2(5)
= 20/10
= 2
Dengan demikian sumbu simetri untuk fungsi kuadrat y = 5x² – 20x + 1 adalah x = 2.

Sekian “Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Kuadrat“.
Semoga Bermanfaat.