Barisan dan Deret Aritmetika – Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi contoh soal dari barisan dan deret aritmetika dimana materi ini Gengs akan pelajari di SMA kelas 11.
Berikut ini 15 nomor soal matematika plus jawabannya tentang barisan dan deret aritmetika SMA.
Soal 1
Sebuah barisan aritmetika mempunyai suku-suku -7, -4, -1, …. Nilai dari U₁₅ + U₂₀ adalah…
Jawaban:
Barisan aritmetika yang diketahui: -7, -4, -1, … maka:
U₁ = a = -7
U₂ = -4
b = U₂ – U₁ = -4 – (-7) = 3
Uₙ = a + (n – 1)b
U₁₅ = -7 + (15 – 1)3
= -7 + (14)(3)
= -7 + 42 = 35
U₂₀ = -7 + (20 – 1)3
= -7 + (19)(3)
= -7 + 57 = 50
U₁₅ + U₂₀ = 35 + 50 = 85
Jadi, nilai dari U₁₅ + U₂₀ adalah 85.
Soal 2
Diketahui suku tengah dan jumlah suku pertama deret aritmetika berturut-turut 32 dan 672. Banyak suku dalam deret tersebut adalah…
Jawaban:
Ut = 32
(a + Uₙ)/2 = 32
a + Uₙ = 64
Sₙ = 672
(n/2) (a + Uₙ) = 672
(n/2) (64) = 672
(n) (32) = 672
n = 21
Jadi, banyak suku dalam deret tersebut adalah 21.
Soal 3
Pada suatu barisan aritmetika diketahui U₃ + U₅ + U₇ + U₉ = 108. Nilai suku ke-6 barisan tersebut adalah…
Jawaban:
U₃ + U₅ + U₇ + U₉ = 108
(a+2b) + (a+4b) + (a+6b) + (a+8b) = 108
4a + 20b = 108
4(a + 5b) = 108
a + 5b = 27
U₆ = 27
Jadi, nilai suku ke-6 barisan tersebut yaitu 27
Soal 4
Tentukan banyak suku dan jumlah barisan aritmetika berikut: 4+9+14+19+ … + 104
Jawaban:
a = 4
b = 9 – 4 = 5
Mencari banyak suku (n)
Uₙ = a + (n – 1)b
104 = 4 + (n – 1)5
104 = 4 + 5n – 5
104 = 5n – 1
104 + 1 = 5n
5n = 105
n = 21
Mencari jumlah barisan
Sₙ = (1/2) ⨯ n ⨯ (U₁ + Uₙ)
= (1/2) ⨯ 21 ⨯ (4 + 104)
= (1/2) ⨯ 21 ⨯ 108
= 21 ⨯ 54
= 1134
Jadi, banyak suku dan jumlah barisan tersebut berturut-turut adalah 21 dan 1134.
Soal 5
Suku ke-4 dan suku ke-8 sebuah bilangan aritmetika berturut-turut 36 dan 12. Suku ke 40 barisan tersebut adalah…
Jawaban:
U₄ = 36
a + 3b = 36 …(i)
U₈ = 12
a + 7b = 12 …(ii)
Kita ubah persamaan (i) atau (ii) agar dapat disubstitusikan ke dalam persamaan (i) atau (ii). Saya akan mengubah persamaan (ii).
a + 7b = 12
a = 12 – 7b …(iii)
Setelah peroleh a, selanjutnya substitusikan a ke dalam persamaan (i).
a + 3b = 36
(12 – 7b) + 3b = 36
12 – 4b = 36
-4b = 24
b = -6
Kita telah peroleh b = -6, selanjunya kita cari a dengan cara subtitusikan b = -6 ke dalam (i) atau (ii) atau (iii). Saya akan substitusikan ke dalam (iii).
a = 12 – 7b
= 12 – 7(-6)
= 12 – (-42)
= 54
Karena kita telah mendapatkan nilai suku pertama (a) dan beda (b) maka selanjutnya dengan mudah akan kita cari suku ke-40.
U₄₀ = a + (n – 1)b
= 54 + (40 – 1) (-6)
= 54 + (39)(-6)
= 54 + (234) = 288
Jadi, nilai suku ke-40 yaitu 288.
Soal 6
Diketahui suku ke-4 suatu deret aritmetika adalah 38. Jumlah suku ke-6 dan suku ke-8 adalah 106. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah…
Jawaban:
U₄ = 38
a + 3b = 38 ..(i)
U₆ + U₈ = 106
(a + 5b) + (a + 7b) = 106
2a + 12b = 106 (masing-masing ruas dibagi 2)
a + 6b = 53 …(ii)
Kita ubah persamaan (i) atau (ii) agar dapat disubstitusikan ke dalam persamaan (i) atau (ii). Saya akan mengubah persamaan (i).
a + 3b = 38
a = 38 – 3b …(iii)
Setelah peroleh a, selanjutnya substitusikan a ke dalam persamaan (ii).
a + 6b = 53
(38 – 3b) + 6b = 53
3b + 38 = 53
3b = 15
b = 5
Kita telah peroleh b = 5, selanjunya kita cari a dengan cara subtitusikan b = 5 ke dalam (i) atau (ii) atau (iii). Saya akan substitusikan ke dalam (iii).
a = 38 – 3b
= 38 – 3(5)
= 38 – 15
= 23
Karena kita telah mendapatkan nilai suku pertama (a) dan beda (b) maka selanjutnya denganmudah akan kita cari jumlah 20 suku pertama deret tersebut.
Sₙ = (n/2) (2a + (n – 1)b)
= (20/2) (2(23) + (20 – 1)5)
= 10 (46 + (19)5)
= 10 (46 + 95)
= 10 (141) = 1.410
Jadi, jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah 1.410.
Soal 7
Diketahui barisan aritmetika dengan suku kelima 57 dan suku kedelapan 87. Jumlah lima suku pertamanya adalah…
Jawaban:
U₅ = 57 (suku kelima)
a + 4b = 57 …(i)
U₈ = 87 (suku kedelapan)
a + 7b = 87 …(ii)
Kita akan mencari beda (b) dan suku pertama (a) karena pada soal belum diketahui dan juga agar kita dapat mencari jumlah lima suku pertamanya.
Eliminasi a dengan (i) dan (ii)
a + 4b = 57
a + 7b = 87
————— –
-3b = -30
b = 10
Substitusi b = 10 ke dalam (i)
a + 4b = 57
a + 4(10) = 57
a + 40 = 57
a = 17
Mencari jumlah lima suku pertamanya:
Sₙ = (n/2) (2a + (n-1)b)
S₅ = (5/2) (2(17) + (5-1)10)
= (5/2) (34 + 40)
= (5/2) (74)
= 5 x 37
= 185
Jadi, jumlah lima suku pertamanya yaitu 185.
Soal 8
Diketahui suku ke-12 dan suku ke-18 barisan aritmetika berturut-turut 116 dan 164. jika nilai suku terakhir 484, banyak suku pada barisan tersebut adalah…
Jawaban:
Diketahui:
U₁₂ = 116
U₁₈ = 164
Rumus suku ke-n barisan aritmetika yaitu:
Un = a + (n – 1)b
U₁₂ = 116
a + 11b = 116
a = 116 – 11b …(i)
U₁₈ = 164
a + 17b = 164 …(ii)
Substitusi (i) kedalam (ii)
a + 17b = 164
116 – 11b + 17b = 164
116 + 6b = 164
6b = 48
b = 8
Substitusikan b = 8 ke dalam (i)
a = 116 – 11(8)
= 116 – 88
= 28
Setelah mencari suku pertama dan beda selanjutnya akan kita cari banyak suku dengan menggunakan Uₙ = 484 dan rumus suku ke-n.
Uₙ = a + (n – 1)b
484 = 28 + (n – 1)8
484 = 28 + 8n – 8
484 = 8n + 20
8n = 464
n = 58
Jadi, banyak suku pada barisan tersebut yaitu 8.
Soal 9
Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima adalah 144. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut…
Jawaban:
Diketahui:
U₃ = 36
a + 2b = 36 …(i)
U₅ = 144
a + 4b = 144 …(ii)
Kita akan mencari beda (b) dan suku pertama (a) karena pada soal belum diketahui dan juga agar kita dapat mencari jumlah sepuluh suku pertamanya.
Eliminasi a dengan (i) dan (ii)
a + 2b = 36
a + 4b = 144
————— –
-2b = -108
b = 54
Substitusi b = 54 ke dalam (ii)
a + 4b = 144
a + 4(54) = 144
a + 216 = 57
a = -72
Mencari jumlah lima suku pertamanya:
Sₙ = (n/2) (2a + (n-1)b)
S₁₀ = (10/2) (2(-72) + (10-1)54)
= (5) (-144 + 486)
= (5) (342)
= 1710
Jadi, jumlah sepuluh suku pertamanya yaitu 1.710.
Soal 10
Diketahui deret aritmetika dengan S₁₆ = 1.000 dan U₁₁ = 50. Suku ke-50 deret tersebut adalah…
Jawaban:
Diketahui:
S₁₆ = 1.000
U₁₁ = 50
Untuk mencari suku ke-50 kita haruus mencari nilai suku pertama (a) dan beda (b).
Kita akan mencari keduanya menggunakan informasi yang telah diberikan pada soal.
S₁₆ = 100
(n/2) (2a + (n – 1)b) = 1000
(16/2) (2a + (16-1)b) = 1.000
8 (2a + 15b) = 1.000
16a + 120b = 1.000 …(i)
U₁₁ = 50
a + (n – 1)b = 50
a + (11 – 1)b = 50
a + 10b = 50
a = 50 – 10b …(ii)
Substitusikan (ii) ke dalam (i)
16a + 120b = 1.000
16(50 – 10b) + 120b = 1.000
800 – 160b + 120b = 1.000
800 – 40b = 1.000
– 40b = 200
b = -5
Substisusikan b = -5 ke dalam (ii).
a = 50 – 10b
= 50 – 10(-5)
= 50 – (-50)
= 100
Dengan demikian,
Uₙ = a + (n – 1)b
U₅₀ = a + (50 – 1)b
= 100 + 49 (-5)
= 100 + (-245)
= -145
Jadi suku ke-50 deret tersebut yaitu -145.
Soal 11
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sₙ = 1/2 (7n² – 3n). Suku ke-15 deret aritmetika tersebut adalah…
Jawaban:
Diketahui: Sₙ = 1/2 (7n² – 3n)
Ingat: Uₙ = Sₙ – Sₙ₋₁
Maka, U₁₅ = S₁₅ – S₁₄
S₁₅ = 1/2 (7(15)² – 3(15))
= 1/2 (7(225) – 45)
= 1/2 (1.575 – 45)
= 1/2 (1.530) = 765
S₁₄ = 1/2 (7(14)² – 3(14))
= 1/2 (7(196) – 42)
= 1/2 (1.372 – 42)
= 1/2 (1.330) = 665
Dengan demikian,
U₁₅ = 765 – 665 = 100
Jadi, nilai suku ke-15 adalah 100.
Soal 12
Sebuah besi sepanjang 15 cm dipanaskan dan mengalami pemuaian panjang (pertambahan panjang) sebesar 0,6 mm setiap menitnya. Jika besi dipanaskan selama 30 menit, panjang besi setelah dipanaskan adalah…
Jawaban:
Panjang besi setelah dipanaskan setiap menit membentuk barisan aritmetika dengan:
U₁ = 15 cm = 150 mm
Beda = b = 0,6 mm
Banyak suku (n) = 30 + 1 = 31
Panjang besi setelah dipanaskan selama 30 menit:
Un = a + (n – 1)b
U₃₁ = a + 30b
= 150 + 30(0,6)
= 150 + 18
= 168
Jadi, panjang besi setelah dipanaskan selama 30 menit adalah 168 mm atau 16,8 cm.
Soal 13
Sebuah kawat dipotong menjadi 8 bagian. Panjang tiap potong membentuk barisan aritnetika. Panjang potongan terpendek 1,3 meter dan potongan terpanjang 5 meter. Panjang kawat mula-mula adalah…
Jawaban:
Potongan kawat membentuk barisan aritmetika dengan:
n = 8
U₁ = a = 1,3
U₅ = 5
Panjang kawat mula-mula:
Sₙ = (n/2) (a + Uₙ)
= (8/2) (1,3 + 5)
= 4 (6,3)
= 25,2
Jadi, panjang kawat mula-mula adalah 25,2 meter.
Soal 14
Lesty memiliki pita sepanjang 21 meter. Pita tersebut akan dipotong menjadi 15 bagian membentuk barisan aritmetika. Jika potongan pita terpanjang 255 cm, selisih antara potongan terpanjang dan terpendek adalah…
Jawaban:
Potongan pita membentuk barisan aritmetika dengan:
Diketahui:
n = 15
S₁₅ = 21 meter = 2100 cm
U₁₅ = 255 cm
Misalkan:
a = potongan pita terpendek
Untuk mencari selisih antara potongan pita terpanjang dan terpendek maka kita harus mencari nilai potongan terpendek (a) dan potonganan terpanjang (U₁₅) agar kita dapat mengurangkan U₁₅ – a.
Mencari potongan terpendek:
S₁₅ = (n/2) (a + U₁₅)
2.100 = (15/2) (a + 255) [Ruas kanan dan kiri kita kalikan dengan 2]
4.200 = 15 (a + 255)
4.200 = 15a + 3.825
15a = 4.200 – 3.825
15a = 375
a = 25
Nilai a dan U₁₅ telah kita dapatkan. Selanjutnya akan kita cari selisih antara potongan terpanjang dan terpendek.
Selisih = U₁₅ – a
= 255 – 25
= 230
Jadi, selisih antara potongan pita terpanjang dan terpendek yaitu 230 cm atau 2,3 meter.
Soal 15
Seorang Ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah maka jumlah seluruh permen adalah…
Jawaban:
Diketahui:
U₂ = 11
U₄ = 19
Kita akan mencari beda (b) dan suku pertama (a) karena pada soal belum diketahui dan juga agar kita dapat mencari jumlah seluruh permen.
Mencari beda (b)
2b = U₄ – U₂
2b = 19 – 11
2b = 8
b = 4
Mencari suku pertama (a)
a = U2 – b = 11 – 4 = 7
Mencari Jumlah seluruh permen:
Sₙ = (n/2) (2a + (n-1)b)
= (5/2) (2(7) + (5-1)4)
= (5/2) (14 + 16)
= (5/2) (30)
= 5 x 15
= 75
Jadi, jumlah seluruh permen yaitu 75 buah.
