Persamaan Lingkaran – Lingkaran yaitu himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Koordinat dari titik-titik tersebut ditentukan melalui susunan persamaan, berdasarkan panjang jari-jari dan koordinat titik pusat lingkaran. Berikut ini 11 soal dan pembahasan tentang lingkaran. Agar lebih paham, sebelum mengerjakan soal-soal latihan ada baiknya Gengs pelajari materi-nya terlebih dahulu. Tanpa berlama-lama lagi, berikut 11 soal dan pembahasan dari persamaan lingkaran SMA.
Soal 1
Persamaan garis singgung lingkaran (x-5)²+(y+3)²=61, pada titik (-1,2) adalah…
Jawaban:
Selidiki dahulu apakah (-1,2) terletak pada lingkaran (x-5)²+(y+3)²=61.
Substitusikan titik (-1,2) dimana x=-1 dan y=2 ke dalam persamaan.
(x-5)² + (y+3)²=61
(-1-5)² + (2+3)²61
(-6)² + (5)² =61
36+25 = 61
Persamaan garis singgungnya adalah:
(x-5)²+(y+3)²=61
(-1-5)(x-5)+(2+3)(y+3)=61
(-6)(x-5)+(5)(y+3)=61
-6x+30+5y+15=61
-6x+5y=61-30-15
-6x+5y=16
Soal 2
Persamaan garis singgung di titik (6,4) pada lingkaran x²+y²-4x-2y-20=0 adalah…
Jawaban:
x²+y²-4x-2y-20=0 di titik (6,4)
xx₁ + yy₁ – ½ (4)(x+x₁) – ½ (2)(y+y₁) – 20 = 0
x(6) + y(4) – 2(x+6) – (y+4) – 20 = 0
6x + 4y – 2x – 12 – y – 4 – 20 = 0
4x + 3y – 36 = 0
Soal 3
Persamaan garis singgung lingkaran x²+y²-6x+8y+5=0 di titik (1,0) adalah…
Jawaban:
x²+y²-6x+8y+5=0 di titik (1,0)
xx₁ + yy₁ – ½ (6)(x+x₁) + ½ (8)(y+y₁)+ 5 = 0
x(1) + y(0) – 3(x+1) + 4(y+0) + 5 = 0
x – 3x – 3 + 4y + 5 = 0
-2x + 4y + 2 = 0
x – 2y -1 = 0
Soal 4
Persamaan garis singgung pada lingkaran x²+y²-2x-4y-21=0 yang melalui titik (2,3) adalah…
Jawaban:
x²+y²-2x-4y-21=0
Dari persamaan tersebut akan kita tentukan titik pusatnya. Dari persamaan tersebut juga A=-2 dan B=-4.
Untuk mencari persamaan lingkaran ,kita harus mencari titik pusat dan jari-jarinya (r ).
Tititk pusat = (-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2(-2), -1/2(-4)) = (1,2)
Titik pusatnya telah di temukan sedangkan titik yang dilalui lingkaran telah diketahui pada soal yaitu titik (2,3). Selanjutnya kita cari jari-jarinya.
r = √(¼⨯(A²) + ¼⨯(B²) – C)
= √( ¼⨯(-2)² + ¼⨯(-4²) – (-21))
= √( ¼⨯4 + ¼⨯16 +21)
= √(1 + 4 + 21)
= √26
Dengan demikian pesamaan lingkarannya yaitu:
(x-a) (x₁-a) + (y-b)(y₁-b)=r²
(x-1) (2-1) + (y-2) (3-2) = (√26)²
(x-1) +(y-2)=26
x+y-1-2=26
x+y-29=0
Soal 5
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x+2)²+(y-1)²=12 di titik (5,-4) adalah…
Jawaban:
Langkah pertama adalah mengecek apakah titik (5,-4) terletak pada lingkaran, caranya yaitu
Substitusikan (5,-4) ke (x+2)²+(y-1)²=12
⇔(5+2)²+(-4-1)²=12
⇔7²+(-5)²=12
⇔49+25=12
Jadi, titik (5,-4) terletak DILUAR lingkaran.
Karena persamaan lingkarannya adalah
(x+2)²+(y-1)²=12 maka,
Titik pusat = (-2,-(-1))=(-2,1)
Persamaan garis singgung yang melalui titik (5,-4) dan bertitik pusat di(-2,1) adalah
(x₁-a)(x-a) + (y₁-b)(y-b) =r²
Dengan, x₁=5, y₁=-4, a=-2, b=1 dan r²=12
Dengan demikian persamaan garis singgungnya adalah:
(5-(-2))(x-(-2)) + ((-4)-1)(y-1) =12
7(x+2) + (-5)(y-1) = 12
7x+14-5y+5=12
7x-5y+19=12
7x-5y+7=0
Soal 6
Persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan menyinggung garis x+y-4=0 adalah…
Jawaban:
Karena lingkaran berpusat di titik O(0,0) maka persamaan lingkarannya adalah x²+y²=r² namun kita harus mencari jari-jari (r) nya terlebih dahulu.
Karena persamaan lingkaran menyinggung suatu garis, maka jari-jarinya adalah jarak dari titik pusat terhadap garis itu.
r = | (1(0)+1(0)-4)|/|(√1¹+1² )|=|-4|/|(√2 )|=2√2
Ingat jarak selalu bernilai positif oleh karena itu kita beri tanda mutlak.
Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah:
x²+y²=r²
x²+y²=(2√2 )²
x²+y²=8
Soal 7
Persamaan lingkaran yang pusatnya O(3,2) dan menyinggung garis x-7=0 adalah…
Jawaban:
Persamaan lingkarannya adalah (x-a)²+(y-b)²=r², a dan b yaitu titik pusat dimana pada soal telah diberikan titik pusatnya yaitu 3 dan 2.
Untuk mencari persamaan lingkaran, kita harus mencari jari-jari (r) nya terlebih dahulu.
Karena lingkaran tersebut menyinggung suatu garis x-7=0, maka jari-jarinya adalah jarak dari titik pusat terhadap garis itu.
r = | (1(3)+(0)(2)-7)|/|(√1²+0² )|=|-4|/|(√1 )|=4
Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah:
(x-a)²+(y-b)²=r²
(x-3)²+(y-2)²=4²
(x² -6x+9)+(y²-4y+4)=16
x²+y²-6x-4y+13=16
x²+y²-6x-4y-3=0
Soal 8
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3,2) dan diameyernya 4√17 adalah…
Jawaban:
Persamaan lingkarannya adalah:
(x-a)²+(y-b)²=r²
Diketahui:
a=4 b=-3 dan r=(1/2)(d) =(1/2)(4√17 )=2√17
Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah:
(x-a)²+(y-b)²=r²
(x-4)²+(y+3)²=(2√17 )²
(x² -8x+16)+(y²+6y+9)=68
x²+y²-8x+6y+25-68=0
x²+y²-8x+6y-43=0
Soal 9
Lingkaran dengan persamaan x²+y²+ax+by+c=0 melalui titik-titik (2,1),(1,2) dan (1,0). Persamaan lingkaran tersebut adalah…
Jawaban:
Melalui titik (2,1)
x²+y²+ax+by+c=0
2²+1²+2a+b+c=0
2a+b+c=-5 …..(1)
Melalui titik (1,2)
x²+y²+ax+by+c=0
1²+2²+a+2b+c=0
a+2b+c=-5 …..(2)
Melalui titik (1,0)
x²+y²+ax+by+c=0
1²+0²+a+(0)b+c=0
a+c=-1 …..(3)
Kita akan mencari nilai solusi untuk a,b dan c.
Dari (2) dan (3)
a+2b+c=-5
a+c=-5-2b
-1=-5-2b
-2b=4
b=-2
Substitusikan b=-2 ke dalam (1) sehingga diperoleh persamaan baru.
2a+b+c=-5
2a-2+c=-5
2a+c=-3
c=-3-2a ….(4)
Substitusi (4) ke dalam (3)
a+c=-1
a+(-3-2a)=-1
a-3-2a=-1
-a=2
a=-2
Substitusikan a=-2 dan b=-2 ke dalam (2).
a+2b+c=-5
-2+2(-2)+c=-5
-2-4+c=-5
c=1
Dengan demikian persamaan lingkarannya adalah:
x²+y²+ax+by+c=0
x²+y²-2x-2y+1=0
Soal 10
Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dengan jari-jari 4 adalah…
Jawaban:
Jika diketahui suatu lingkaran titik pusatnya di (a,b) dan jari-jari r maka persamaan lingkarannya yaitu:
(x-a)²+(y-b)²=r²
(x-2)²+(y-3)²=4²
(x²-4x+4)+(y²-6y+9)=16
x²+y²-4x-6y+13=16
x²+y²-4x-6y-3=0
Soal 11
Lingkaran yang mempunyai persamaan x²+y²+4x-6y+13=0 merupakan lingkaran yang berpusat di …
Jawaban:
x²+y²+4x-6y+13=0
Dari persamaan lingkaran tersebut diketahui:
A=4, B=-6 dan C=13
Pusat lingkaran= (-1/2(A),-1/2(B))=(-1/2(4),-1/2(-6))=(-2,3)
Pelajari Juga: Rumus Matematika – Persamaan Lingkaran
Demikian “11 Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran SMA“. Semoga Bermanfaat.
