Contoh Soal Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri

Teknik pengintegralan dimaksudkan dengan misalkan ada suatu fungsi yang diganti dengan tujuan untuk dapat diintegralkan langsung dengan aturan-aturan yang telah diketahui. Demikian ini yang dinamakan dengan teknik pengintegralan. Sebelum bahas tentang Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri ada baiknya kita me-review kembali Teorema Dasar Kalkulus.

Teorema Dasar Kalkulus

Jika f kontinu pada selang [a,b] dan jika F’ adalah sembarang anti-turunan dari f pada [a,b], maka:
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)

Sehingga, jika kita bisa menentukan antiturunan baik itu integral tak-tentu atau integral tak-terbatas dari fungsi f maka kita dapat pula menentukan integral tentu fungsi f tersebut .

Berikut ini merupakan beberapa rumus dasar pengintegralan yang dapat kita gunakan untuk untuk menentukan anti-turunan.
1. \(\int u^n du=\frac{u^n+1}{n+1}+C;n\neq -1\)
2. \(\int \frac{du}{u} du=\ln |u|+C\)
3. \(\int e^u du=e^u+C\)
4. \(\int a^u du=\frac{a^u}{\ln a}+C\)
5. \(\int \sin u du=-\cos u+C\)
6. \(\int \cos u du=\sin u+C\)
7. \(\int \sec ^2 u du=\tan u+C\)
8. \(\int \csc ^2 u du=-\cot u+C\)
9. \(\int \sec u \tan udu=-\sec u+C\)
10. \(\int \csc u \cot udu=-\csc u+C\)
11. \(\int \tan u du=-\ln |\cos u| +C\)
12. \(\int \cot u du=\ln |\sin u| +C\)
13. \(int \sec u du=\ln |\sec u +\tan u| +C\)
14. \(\int \csc u du=\ln |\csc u -\cot u| +C\)
15. \(\int \frac{du}{\sqrt{a^2 -u^2}}=\arcsin \begin{pmatrix} \frac{u}{a} \end{pmatrix}+C\)
16. \(\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}\textrm{arcsec}\begin{pmatrix} \frac{u}{a} \end{pmatrix}+C\)
17. \(\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctan}\begin{pmatrix}\frac{u}{a}\end{pmatrix}+C\)

Secara umum, menentukan antiturunan suatu fungsi adalah lebih sulit dari menentukan turunan fungsi tersebut. Oleh karena itu, kadangkala diperlukan teknik-teknik tertentu untuk mempermudah penentuan antiturunan suatu fungsi. Teknik-teknik untuk menentukan antiturunan inilah yang disebut teknik pengintegralan.

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Akan ada lima (5) kasus yang dibahas yakni:

Kasus 1

Integral yang mengandung ekspansi \(\int \sin^n xdx\) atau \(\int \cos^n xdx\)
Untuk menyelesaikan kasus pertama ini, mari kita perhatikan dua hal berikut ini:

a. Jika n adalah bilangan bulat ganjil dan positif, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut ini:
sin² x+ cos² x =1
untuk penyederhanaan lebih lanjut

b. Jika n adalah bilangan bulat genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut
\(\sin^2 x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1-\cos (2x) \end{pmatrix}\)
Atau
\(\cos^2 x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+\cos (2x) \end{pmatrix}\)
untuk penyederhanaan lebih lanjut.

CONTOH 1
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$$\int cos^3 x dx$$
Jawab:
\(\int \cos^3 x dx\)
\(=\int \cos^2 x \cos x dx\)
\(=\int (1-\sin^2 x)\cos x dx\)
kita misalkan:
u = sin x , du = cos x dx
Sehingga,
\(=\int (1-u^2 )du\)
\(=u-\frac{1}{3}u^3+C\)
\(=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+C\)

CONTOH 2
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$$\int \sin^7 x dx$$
Jawab:
\(\int \sin^7 x dx\)
\(=\int \sin^6 x \sin x dx\)
\(=\int (\sin^2 x)^3 \sin x dx\)
\(=\int (1-\cos^2 x)^3 \sin x dx\)
misalkan:
u = cos x, du = -sin x dx
Sehingga,
\(=-\int (1-u^2 )^3 du\)
\(=-\int (1-3u^2-3u^4+u^6 ) du\)
\(=-u+u^3+3/5 u^5-1/7u^7+C\)
\(=-\cos x+(\cos x)^3+3/5 (\cos x)^5-1/7(\cos x)^7+C\)

Kasus 2

Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:
$$\int \sin^m x \cos^n x dx$$

Untuk menyelesaikan kasus dua ini, mari perhatikan dengan saksama dua hal berikut ini:
a. Jika m atau n adalah bilangan ganjil positif, sedangkan pangkat yang lain adalah bilangan nyata sembarang, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut.
$$\sin^2 x \cos^2 x =1$$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.

b. Jika m dan n adalah bilangan bulan genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut untuk mereduksi derajat integral.

CONTOH 3
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$$\int \sin^5 x \cos^2 x dx$$
Jawab:
\(\int \sin^5 x \cos^2 x dx\)
\(=\int (\sin^2 x)^2 \cos^2 x \sin x dx\)
\(=\int (1-\cos^2 x)^2 \cos^2 x \sin x dx\)
misalkan:
u = cos x , du = -sin x
Sehingga,
\(=\int (1-u^2 )^2 u^2 -du\)
\(=-int (u^2-2u^4+u^6) du\)
\(=- (u^3/3-2/5u^5+u^7/7) +C\)
\(=-\cos x^3/3-2/5(\cos x)^5+\cos x^7/7 +C\)

CONTOH 4
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$$\int \sin^4 x \cos^2x dx$$
Jawab:
\(\int \sin^4 x \cos^2x dx\)
\(=\int (\sin x \cos x)^2 \sin^2x dx\)
\(=\int \frac{(\sin 2x)^2}{4} \sin^2x dx\)
\(=\int \frac{(\sin^2 2x)}{4} (\frac{1-\cos 2x}{2}) dx\)
\(=\int \frac{1}{8}\sin^2 2x dx-\int \frac{1}{8}\sin^2 2x \cos 2x dx\)
\(=\frac{1}{8}\int \frac{1-\cos 4x}{2} dx\)
\(=\frac{1}{16}x-\frac{1}{16}\int \cos 4x dx\)
\(=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+C\)

Kasus 3

Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:
\(\int \tan^n x dx\)
atau
\(\int \cot^n x dx\)
a. Apabila kasusnya tangen maka pisahkan seperti berikut
\(\tan^2 x=\sec^2 x-1\)

b. Apabila kasusnya kotangen maka pisahkan seperti berikut
\(\cot^2 x=\csc^2 x-1\)

CONTOH 5
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$$\int \tan^6 x dx$$
Jawab:
\(\int \tan^6 x dx\)
\(=\int \tan^4 x \tan^2 x dx\)
\(=\int \tan^4 x (\sec^2 x -1) dx\)
\(=\int (\tan^4 x \sec^2 x -\tan^4 x) dx\)
\(=\int \tan^4 x \sec^2 x -\int \tan^4 x dx\)
misalkan:
u = tan x, maka:
\(du=\sec^2 x\)
Sehingga:
\(=\int u^4 du -\int \tan^4 x dx\)
\(=\frac{1}{5}\tan^5 x-\int \tan^4 x dx\)
\(=\frac{1}{5}\tan^5 x-\frac{1}{3}\tan^3 x – x +C\)
\(\int \tan^4 x dx\) diperoleh dengan cara seperti berikut ini:
\(\int \tan^4 x dx\)
\(=\int \tan^2 x \tan^2 x dx\)
\(=\int \tan^2 x (\sec^2 x-1) dx\)
\(=\int (\tan^2 x \sec^2 x-\tan^2 x) dx\)
\(=\int \tan^2 x \sec^2 x dx-\int tan^2 x dx\)
misalkan:
du = tan x, maka
\(du=\sec^2 x dx\)
Sehingga
\(=\int u^2 du-\int \tan^2 x dx\)
\(=\frac{1}{3}u^3 -\int (\sec^2 x-1) dx\)
\(=\frac{1}{3}u^3 -\int \sec^2 x dx-\int 1 dx\)
\(=\frac{1}{3}u^3 – \tan x -x+C\)
\(=\frac{1}{3}\tan^3 x – \tan x -x+C\)

Kasus 4

Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:
\(\int \tan ^m x \sec ^n xdx\)
atau
\(\int \cot ^m x \csc ^n xdx\)
Untuk menyelesaikan kasus 4 ini, perhatikan dua hal berikut ini:

1. Jika n genap dan m sembarang, maka pisahkan \(\sec^2 x\) atau \(\csc^2 x\), dan sisa yang lain di konversi ke bentuk tangen atau kotangen dengan kesamaan \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) dan \(\csc^2 x=1+\cot^2 x\)

2. Jika m ganjil dan n sembarang, maka pisahkan (sec x tan x) atau (csc x cot x), dan sisa yang lain dikonversi ke dalam bentuk secan atau kosekan.

Kasus 5

Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:
a. sin mx cos nx
b. sin mx sin  nx
c. cos mx cos nx
Untuk menyelesaikan integral semacam ini, kita perlu gunakan kesamaan berikut ini:
a. sin mx cos nx = 1/2 (sin (m + n) x + sin (m – n) x)
b. sin mx sin  nx = -1/2 (cos (m + n) x – cos (m – n) x)
c. cos mx cos nx = 1/2 (cos (m + n) x + cos (m – n) x)

Demikian beberapa contoh soal mengenai “Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri [Kalkulus]”.

Terima kasih.
Semoga bermanfaat.