Contoh Soal Matriks dan Penyelesaiannya

Soal: Diberikan mariks A dan B sebagai berikut:

a. Tentukan:

$$(AB^{T}+I_{2})^{-1}$$
Jawab:
Pertama-tama cari dahulu:

$$AB^{T}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 &3 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 1.(-1)=-1 &1.3=3 \\ 2.(-1)=-2 & 3.3=6 \end{pmatrix}$$

Setelah itu tambahkan hasil di atas dengan \(I_{2}\) sehingga akan seperti berikut:

Kemudian hasil di atas, di inverskan. Pertama-tama cari dahulu nilai determinan dari matriks yang sudah diperoleh yaitu sebagai berikut:

$$AB^{T}+I_{2}=0.7-3(-2)=6$$

Dengan demikian:

$$(AB^{T}+I_{2})^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 7 &-3 \\ 2 &0 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 7/6 &-1/2 \\ 1/3& 0 \end{pmatrix}$$

Baca juga:

Tentukan:
a] \(AB^{T}\)
b] Pangkat matriks B, dan berikan alasannya.
Jawab:
a] Pertama-tama, ubah dahulu matriks B menjadi matrik B yang di transpos sebagai berikut:

Setelah itu, tentukan \(AB^{T}\) sebagai berikut:
$$AB^{T}=\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &2 &6 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 3(1)+(-1)(-1)=4 &3(2)+(-1)(0)=6 &3(6)+(-1)(1)=17 \\ 1(1)+(-2)(-1)=3 &1(2)+(-2)(0)=2&1(6)+(-2)(1)=4 \end{pmatrix}$$
b] Untuk menjawab pertanyaan b, ada 2 cara penyelesaian yaitu sebagai berikut:

Cara 1: Ambil anak matriks dari matriks B berukuran 2×2 sebagai berikut:

karena :
$$\left | hat{B} \right |=2\neq 0$$
maka p(B) = 2

Cara 2: Lakukan serangkaian Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks B sehingga menjadi matriks mirip sgitiga atas. Seperti berikut ini:
$$B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \\ 6 &1 \end{pmatrix}$$

Terlihat bahwa p(B) = 2

Nomor 3
Soal: Diberikan matriks B sebagai berikut:

Tentukan: \(B^{-1}\) dengan metode matriks adjoin.
Jawab:
Pertama-tama, tentukan dahulu matriks kofaktornya sebagai berikut:
Matriks kofaktor \(C=(a_{ij})\) dengan:

Dengan mengambil baris ke-3 dari matriks B, diperoleh:

Maka:

Nomor 4
Soal: Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

Jika ada, tentukan:
a] \(AB^{T}\)
b] \((AB^{T})^{-1}\)
Jawab:
a] Akan diperoleh seperti dibawah ini:

b] Untuk mencari matriks invers dari jawaban (a) maka terlebih dahulu tentukan nilai determinannya, yaitu: (-2)(6) – (-12)(7) = 72. Sehingga,

Nomor 5
Soal: Diberikan matriks A dan B sebagai berikut:

Tentukan:
a] 3BA – 2B
b] \(det(5A^{T})\)
Jawab:
a] Akan diperoleh sebagai berikut:
$$3BA-2B$$

$$=3\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}$$
$$3BA-2B=\begin{pmatrix} 27 &-33 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 &-8 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} -33 &-25 \end{pmatrix}$$
b] Pertama-tama cari dahulu

$$5A^{T}=5\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}^{T}= 5\begin{pmatrix} 1 &3 \\ -1 &2 \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} 5 &15 \\ -5 &10 \end{pmatrix}$$

Kemudian determinankan hasil matriks tersebut sebagai berikut:

Nomor 6
Soal: Diketahui matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

Tentukan:
a] \(AB^{T}\)
b] pangkat matriks A
Jawab:
a] Akan diperoleh:

b] Karena baris ke tiga merupakan kelipatan baris ke dua maka |A| = 0 sehingga p(A) < 3. Dengan mengambil salah satu anak matriks berukuran 2 x 2 maka akan di peroleh sebagai berikut:

Sehingga p(A) = 2.
Atau dengan cara lain, yaitu melakukan Operasi Baris Dasar (OBD) sehingga A menjadi matriks segitiga atas seperti di bawah ini:

Diperoleh, p(A) = 2


Baca Juga :

Tentukan: matriks X yang memenuhi

$$AXC=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0&1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ \end{pmatrix}$$

Jawab:

Sampai disini yaaa Gengs pembahasan kita tentang “Contoh Soal Matriks dan Penyelesaiannya“. 

Semoga Bermanfaat.