Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Implisit

Persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) disebut persamaan fungsi eksplisit. Sebagai contohnya yaitu y=3x²+5x-7;y=x²+ sin x

Tidak semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksplisit. Contohnya seperti berikut ini:

cos(x+y)+√(xy²)-5x=0;

y+cos(xy²)+3x² =5y²-6

Secara umum, fungsi f(x,y) = c, dengan c anggota dari bilangan real disebut persamaan fungsi implisit. Turunan fungsi implisit dilakukan pada fungsi-fungsi implisit tanpa mengubah bentuk fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit.

Menurunkan fungsi implisit terhadap x dapat dilakukan dengan cara seperti berikut ini:

1. Turunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x.

2. Gunakan aturan rantai

3. Tentukan dy/dx

Aturan rantai adalah sebagai berikut:

dy/dx=(dy/du) (du/dx)

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Tentukan dy/dx jika:

1.  y=u²  dan  u=x⁴

2. y=u² dan u merupakan fungsi dari x secara implisit.

1. Dari aturan rantai diperoleh bahwa:

(dy/dx)=(dy/du) (du/dx)

=2u(4x³)

=2(x⁴)(4x³)

2. Dari aturan rantai diperoleh sebagai berikut ini:

            \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\)

                   \(=2u\frac{du}{dx}\)

   Jadi, \(\frac{d}{dx}(u^{2})\) dengan u fungsi dari x secara implisit adalah \(2u\frac{du}{dx}\).

Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:

x²y-xy²=5

Langkah awal yang perlu dilakukan adalah ruas kanan dan ruas kiri kita turunkan terhadap x seperti berikut ini:

                                      x²y-xy²=5

                         Dₓ(x²y-xy²)=Dₓ(5)

                  Dₓ(x²y)-Dₓ(xy²)=Dₓ(5)

\(2xy+x^{2}\frac{dy}{dx}-(1y^{2}+x2y\frac{dy}{dx})=0\)

Setelah diturunkan terhadap x, maka selanjutnya yaitu buat dalam bentuk dy/dx seperti berikut:

                               \(\frac{dy}{dx}(x^{2}-2xy)=y^{2}-2xy\)

                                                   \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy}\)

Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:

sin (x – y) = cos y

Cara pengerjaannya serupa dengan contoh soal 2. Dengan menurunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x diperoleh sebagai berikut:

                                    sin (x – y)  =   cos y

            \([\cos (x-y)]\begin{pmatrix} 1-\frac{dy}{dx} \end{pmatrix}=(-\sin y)\frac{dy}{dx}\)

\(\cos (x-y)-\cos (x-y)\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}-\sin y\)

     \([-\cos (x-y)+\sin y]\frac{dy}{dx}=-\cos (x-y)\)

                                              \(\frac{dy}{dx}=\frac{-\cos (x-y)}{-\cos (x-y)+\sin y}\)

                                                    \(=\frac{\cos (x-y)}{\cos (x-y)-\sin y}\)

Tentukan persamaan garis singgung kurva  x²y²+4xy=12y  di titik (2 , 1).

Cara pengerjaannya pun masih sama seperti contoh-contoh sebelumnya yaitu dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan tentukan dalam bentuk dy/dx. Karena di soal diperintahkan bahwa tentukan persamaan garis singgung maka setelah menurunkan kedua ruas tentukan dalam bentuk dy/dx maka selanjutnya  yaitu menentukan kemiringan garis singgung pada titik yang telah di berikan pada soal.

Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan dalam bentuk dy/dx, maka diperoleh sebagai berikut:

                                         x²y²+4xy=12y

  \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{2}y^{2}+4xy)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12y)\)

\(2xy^{2}+x^{2}\begin{pmatrix} 2y\frac{dy}{dx} \end{pmatrix}+4y+(4x)\frac{dy}{dx}=12\frac{dy}{dx}\)

                         \((2x^{2}y+4x-12)\frac{dy}{dx}=-2xy^{2}-4y\)

                                                     \(\frac{dy}{dx}=\frac{-2xy^{2}-4y}{2x^{2}y+4x-12}\)

Kemiringan garis singgung kurva di titik (2 , 1) diperoleh dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 1 pada persamaan dy/dx. Sehingga diperoleh sebagai berikut:

\(m=\frac{-2(2)(1^{2})-4(1)}{2(2^{2})(1)+4(2)-12}=-2\)

Jadi persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:

y – 1 = -2 (x – 2)

     y = -2 (x – 2) + 1

     y = -2x – 4 + 1

     y = -2x – 3

Demikian rangkuman turunan implisit dan contoh-contohnya.

Semoga bermanfaat.