Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Implisit
Turunan Implisit
Persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) disebut persamaan fungsi eksplisit. Sebagai contohnya yaitu y=3x²+5x-7;y=x²+ sin x
Tidak semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksplisit. Contohnya seperti berikut ini:
cos(x+y)+√(xy²)-5x=0;
y+cos(xy²)+3x² =5y²-6
Secara umum, fungsi f(x,y) = c, dengan c anggota dari bilangan real disebut persamaan fungsi implisit. Turunan fungsi implisit dilakukan pada fungsi-fungsi implisit tanpa mengubah bentuk fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit.
Menurunkan fungsi implisit terhadap x dapat dilakukan dengan cara seperti berikut ini:
1. Turunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x.
2. Gunakan aturan rantai
3. Tentukan dy/dx
Aturan rantai adalah sebagai berikut:
dy/dx=(dy/du) (du/dx)
Perhatikan contoh soal berikut ini:
Contoh Soal 1:
Tentukan dy/dx jika:
1. y=u² dan u=x⁴
2. y=u² dan u merupakan fungsi dari x secara implisit.
Pembahasan:
1. Dari aturan rantai diperoleh bahwa:
(dy/dx)=(dy/du) (du/dx)
=2u(4x³)
=2(x⁴)(4x³)
2. Dari aturan rantai diperoleh sebagai berikut ini:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\)
\(=2u\frac{du}{dx}\)
Jadi, \(\frac{d}{dx}(u^{2})\) dengan u fungsi dari x secara implisit adalah \(2u\frac{du}{dx}\).
Contoh Soal 2:
Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:
x²y-xy²=5
Pembahasan:
Langkah awal yang perlu dilakukan adalah ruas kanan dan ruas kiri kita turunkan terhadap x seperti berikut ini:
x²y-xy²=5
Dₓ(x²y-xy²)=Dₓ(5)
Dₓ(x²y)-Dₓ(xy²)=Dₓ(5)
\(2xy+x^{2}\frac{dy}{dx}-(1y^{2}+x2y\frac{dy}{dx})=0\)
Setelah diturunkan terhadap x, maka selanjutnya yaitu buat dalam bentuk dy/dx seperti berikut:
\(\frac{dy}{dx}(x^{2}-2xy)=y^{2}-2xy\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy}\)
Contoh Soal 3:
Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:
sin (x – y) = cos y
Pembahasan:
Cara pengerjaannya serupa dengan contoh soal 2. Dengan menurunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x diperoleh sebagai berikut:
sin (x – y) = cos y
\([\cos (x-y)]\begin{pmatrix} 1-\frac{dy}{dx} \end{pmatrix}=(-\sin y)\frac{dy}{dx}\)
\(\cos (x-y)-\cos (x-y)\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}-\sin y\)
\([-\cos (x-y)+\sin y]\frac{dy}{dx}=-\cos (x-y)\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{-\cos (x-y)}{-\cos (x-y)+\sin y}\)
\(=\frac{\cos (x-y)}{\cos (x-y)-\sin y}\)
Contoh Soal 4:
Tentukan persamaan garis singgung kurva x²y²+4xy=12y di titik (2 , 1).
Pembahasan:
Cara pengerjaannya pun masih sama seperti contoh-contoh sebelumnya yaitu dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan tentukan dalam bentuk dy/dx. Karena di soal diperintahkan bahwa tentukan persamaan garis singgung maka setelah menurunkan kedua ruas tentukan dalam bentuk dy/dx maka selanjutnya yaitu menentukan kemiringan garis singgung pada titik yang telah di berikan pada soal.
Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan dalam bentuk dy/dx, maka diperoleh sebagai berikut:
x²y²+4xy=12y
\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{2}y^{2}+4xy)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12y)\)
\(2xy^{2}+x^{2}\begin{pmatrix} 2y\frac{dy}{dx} \end{pmatrix}+4y+(4x)\frac{dy}{dx}=12\frac{dy}{dx}\)
\((2x^{2}y+4x-12)\frac{dy}{dx}=-2xy^{2}-4y\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{-2xy^{2}-4y}{2x^{2}y+4x-12}\)
Kemiringan garis singgung kurva di titik (2 , 1) diperoleh dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 1 pada persamaan dy/dx. Sehingga diperoleh sebagai berikut:
\(m=\frac{-2(2)(1^{2})-4(1)}{2(2^{2})(1)+4(2)-12}=-2\)
Jadi persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:
y – 1 = -2 (x – 2)
y = -2 (x – 2) + 1
y = -2x – 4 + 1
y = -2x – 3
Semoga bermanfaat.
2 thoughts on “Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Implisit”