Rangkuman, Soal Limit Fungsi dan Pembahasan

Limit Fungsi – Berikut ini rangkuman singkat dan contoh soal dari limit fungsi (hukum limit dan limit searah). Limit fungsi menggambarkan apa yang terjadi dengan nilai-nilai fungsi f, yaitu f(x), apabila x mendekati suatu nilai a tertentu.

 

Perhatikan contoh soal 1 berikut.
Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x + 2. Jika x mendekati 1 maka nilai-nilai f(x) dapat dilihat pada tabel berikut:

Dari tabel di atas terlihat bahwa x mendekati 1, tetapi x kurang dari 1 (x mendekati 1 dari arah kiri), maka nilai f(x) mendekati 3. Demikian pula bila x mendekati 1, tetapi x lebih besar dari 1 (x mendekati 1 dari arah kanan), maka f(x) juga mendekati 3. Hal seperti ini dapat dikatakan sebagai berikut:

1. “Jika x mendekati 1, tetapi x tidak sama dengan 1 maka nilai f(x) mendekati 3″ atau

2. “Limit dari f(x) jika x mendekati 1 adalah 3″

Pernyataan seperti di atas biasanya dituliskan dengan lebih ringkas sebagai berikut:

\(\lim_{x\rightarrow1} f(x)=3\)Misalkan fungsi f terdefinisikan pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis\(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L\) apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x # a.

 

1. Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L adalah f(x) –> L, bila x –>a

2. Fungsi f tidak harus terdefinisi  di a

3. Jika f terdefinisi di a, f(a) tidak harus sama dengan L

Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai berikut:

\(f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}\)

 

maka f(x) = x + 2, jika x # 1

 

Perhatikan bahwa:

1. f(1) tidak terdefinisikan.

2. Jika x mendekati 1, tetapi x # 1, maka dari tabel di atas terlihat pula bahwa f(x) mendekati 3.

3. \(\lim_{x\rightarrow1}f(x)=3\)

 

Contoh berikut ini memperlihatkan bahwa limit fungsi mungkin tidak ada.

Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 1/x , x # 0. Perhatikan nilai-nilai f(x) jika x mendekati 0 pada tabel berikut:

 Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa:

1. Jika x mendekati 0 dari arah kiri, maka f(x) semakin membesar negatif [dengan kata lain mengecil]

2. Bila x mendekati 0 dari arah kanan, maka f(x) semakin membesar positif.

3. Tidak dapat ditentukan suatu nilai tertentu yang dituju oleh f(x).

4. Dikatakan bahwa  \(\lim_{x\rightarrow0}f(x)\) tidak ada.

 

Dari contoh-contoh di atas dapat dilihat bahwa:

1. Limit suatu fungsi pada suatu bilangan tidak selalu sama dengan nilai fungsi pada bilangan tersebut.

2. Mungkin saja terjadi bahwa \(\lim_{x\rightarrow0}f(x)\) ada sedangkan f(c) tidak terdefinisi.

 

Dengan kata lain, jika kita ingin menentukan limit f(x) jika x mendekati c, maka tidak perlu  dipermasalahkan apakah f(c) ada atau tidak ada.

ketiga kasus di atas ini memberikan limit yang sama yaitu \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\)

 

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f(x) ketika x mendekati a (atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, dapat dituliskan sebagai berikut:\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L\) apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a.

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (b,a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f(x) ketika x mendekati a (atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\lim_{x|\rightarrow a^{-}}f(x)=L\)
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a.

 

Hubungan limit disuatu titik dengan limit satu sisi
\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\) jika dan hanya jika \(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)\)

 

Diketahui fungsi f yang didefinisikan sebagai \(f(x)=\sqrt{x},x\geq 0\). Tentukan \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\) bila ada.

 

Fungsi akar kuadrat terdefinisi untuk \(x\geq 0\), sehingga \(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=0\)  tetapi \(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\) tidak ada. Dengan demikian \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\) tidak ada.

 

Pada bagian hukum limit ini akan dibahas mengenai sifat-sifat limit yang dapat digunakan untuk menghitung limit suatu fungsi, yang disebut Hukum Limit.

 

Misalkan c adalah konstanta, n adalah bilangan bulat positif dan kedua limit  \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)\) dan \(\lim_{x\rightarrow a}g(x)\)  ada, maka

 

Jika \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)\) ATAU \(\lim_{x\rightarrow a}g(x)\) tidak ada maka kesebelas rumus di atas tidak berlaku.

 

Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan limit berikut ini:

1. \(\lim_{x\rightarrow 3}(7x+1)\)

2. \(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{7x+1}\)

 

1. Dengan hukum limit nomor ke-4, ke-2 dan kemudian hukum limit ke-1 diperoleh:

 

\(\lim_{x\rightarrow 3}(7x+1)\)

\(=\lim_{x\rightarrow 3}7x+\lim_{x\rightarrow 3}1\)……..[Hukum limit ke-4]

\(=7\lim_{x\rightarrow 3}x+\lim_{x\rightarrow 3}1\) …….[Hukum limit ke-2]

\(=   7 x 3 + 1\) ……[Hukum limit ke-1]

\(=   22\)

 

2. Dengan memperhatikan hukum limit ke-7 maka, dapat dituliskan sebagai berikut:

 

\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{7x+1}\)

\(=\frac{lim_{x\rightarrow 3}2x}{\lim_{x\rightarrow 3}7x+1}\)

 

Perhitungan diatas dapat dilanjutkan apabila penyebutnya tidak sama dengan nol . Karena pada soal sebelumnya telah diketahui bahwa penyebutnya tidak sama dengan nol, maka dapat dilanjutkan lagi seperti berikut ini:

 

\(=\frac{\lim_{x\rightarrow 3}2x}{\lim_{x\rightarrow 3}7x+\lim_{x\rightarrow 3}1}\)

\(=\frac{2\lim_{x\rightarrow 3}x}{7\lim_{x\rightarrow 3}x+\lim_{x\rightarrow 3}1}\)

\(=\frac{2\times 3}{7\times 3+1}\)

\(=\frac{6}{22}\)

 

Jika diperhatikan dua contoh diatas merupakan fungsi polinom dan fungsi yang rasional. Dengan hukum limit dapat ditunjukan bahwa substitusi langsung selalu berlaku untuk fungsi yang demikian.

Hal itu seperti pernyataan berikut ini:

 

Jika f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional dan a dalam daerah asal f maka:

\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\)

 

Hitunglah \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)\) pada fungsi-fungsi f berikut ini:

(1) f(x) = 12, untuk a = 5

(2) f(x) = -2x -5, untuk a = -1

(3) \(f(x)=4-3x+2x^{2}-x^{3}\), untuk a = 2

 

(1) \(\lim_{x\rightarrow 5}12=12\) ……….[Perhatikan hukum limit ke-1]

(2) Pengerjaannya serupa seperti contoh soal sebelumnya.

 

\(\lim_{x\rightarrow -1}(-2x-5)\)

\(=\lim_{x\rightarrow -1}-2x-\lim_{x\rightarrow -1}5\)

\(=-2\lim_{x\rightarrow -1}x-\lim_{x\rightarrow -1}5\)

=   -2(-1) – 5

=   -3

 

(3) \(\lim_{x\rightarrow 2}(4-3x+2x^{2}-x^{3})\)

\(=\lim_{x\rightarrow 2}4-\lim_{x\rightarrow 2}3x+\lim_{x\rightarrow 2}2x^{2}-\lim_{x\rightarrow 2}x^{3}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 2}4-3\lim_{x\rightarrow 2}x+2\lim_{x\rightarrow 2}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 2}x^{3}\)

\(= 4-3(2)+2(2^{2})-2^{3}\)

=   -2

 

Demikian rangkuman limit fungsi beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat dan jangan lupa berkunjung kembali.