Rangkuman Metode Minor Kofaktor dan Sarrus

1. Jika matriks A berukuran (ordo) 1×1, yaituA = \(\mathbf{(a_{11})}\)
   Maka det (A) = |A| = \(\mathbf{a_{11}}\)

Untuk matriks berukuran 2×2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.

Jika matriks \(\mathbf{A}_{2\times 2}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\) maka det(A) = + a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁

Pada matriks segi \(\mathbf{A}_{2\times 2}\), dengan elemen-elemen a₁₁, a₂₂, a₁₂ dan a₂₁, dipetakan ke suatu bilangan real dengan aturan (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁). Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2×2.

Untuk matriks berukuran 2×2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.


Jika matriks A berordo 3×3 \(\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\)
Maka det(A) = (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) – (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₁a₂₃a₃₂) 

Metode ini dikenal dengan metode Sarrus.

Metode Sarrus hanya dapat digunakan untuk matriks berukuran 3×3. Perhitungan determinan matriks dengan ukuran lebih besar akan cukup rumit apabila di kerjakan dengan metode Sarrus. Salah satu cara menentukan determinan suatu matriks adalah dengan metode minor-kofaktor elemen matriks tersebut.

Caranya akan dijelaskan sebagai berikut ini.

Misalkan \(\mathbf{A}_{ij}\) adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks \(\mathbf{A}_{n\times n}\) Didefinisikan:

1. Minor elemen \(\mathbf{a}_{ij}\), diberi notasi \(\mathbf{M}_{ij}\), adalah \(\mathbf{M}_{ij}\)= det(\(\mathbf{a}_{ij}\))
2. Kofaktor elemen \(\mathbf{a}_{ij}\), diberi notasi \(\mathbf{a}_{ij}\), adalah \(\mathbf{a}_{ij}\) = \((-1)^{i+j}\mathbf{M}_{ij}\)

Misalkan matriks \(A=(a_{ij})_{n\times n}\) dan \(a_{ij}\) kofaktor elemen \(a_{ij}\), maka

1. det(A) = \(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}a_{ij}\), untuk sembarang i (i = 1, 2, …., n)
2. det(A) = \(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}a_{ij}\), untuk sembarang j (j = 1, 2, …., n)

Beberapa Sifat Determinan

2. Jika ada satu barus atau kolom matriks A merupakan kelipatan dari baris atau kolom yang lain, maka det(A) = 0
Contohnya:
\[\begin{pmatrix} 1 &3 &4 \\ 2 &6 &8 \\ 2 &6 & 5 \end{pmatrix}\]
Karena ada baris [yaitu baris kedua] yang semua elemennya merupakan kelipatan dari baris lainnya [yaitu baris ke satu].

\[\begin{pmatrix} 2 &2 &3 \\ 5 &5 &8 \\ 1 &1 & 4 \end{pmatrix}\]
Karena ada kolom [yaitu kolom pertama] yang semua elemennya merupakan kelipatan dari kolom lainnya [yaitu kolom kedua].

3.Jika matriks A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian unsur-unsur diagonal utamanya
Contohnya:
\[\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &6 &8 \\ 0 &0 & 5 \end{pmatrix}=(1)(6)(5)=30\]
Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, 6 dan 5.

\[\begin{pmatrix} 0 &0 &4 \\ 0 &6 &7 \\ 1 &9 & 4 \end{pmatrix}=(1)(6)(4)=24\]
Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, 6 dan 4.

Sampai disini dulu penjelasan singkat tentang “Rangkuman Metode Minor Kofator dan Sarrus“.

Semoga Bermanfaat