Contoh Soal Trigonometri pada Sudut Istimewa

Hallo Gengs apa kabar? Semoga kita selalu dalam lindungan-Nya. Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang trigonometri. Lebih khususnya trigonometri pada sudut istimewa. Sebelum kita menuju ke latihan soal, akan di berikan beberapa catatan penting. Dimana catatan ini akan digunakan untuk menjawab soal nantinya.

Trigonometri adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut segitiga.

Sudut istimewa dibagi kedalam 4 kuadran yaitu: kuadran I, kuadran II, kuadran III dan kuadran IV.
Kuadran 1: Rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangen positif.
Kuadran 2: Rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
Kuadran 3: Rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
Kuadran 4: Rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

Berikut ini merupakan nilai sudut pada masing-masing kuadran.

Nahhhh setelah kita mengetahui nilai dari setiap sudut-sudutnya, selanjutnya kita akan masuk pada latihan soal-soal.

CONTOH 1
sin [-30°] = – sin 30°
= – 1/2

CONTOH 2
cos [-60°] = cos 60°
= 1/2

CONTOH 3
tan [-45°] = – tan 45°
= – 1

CONTOH 4
Soal: Berapa nilai sin 120°
Jawaban:
Cara 1
120 = 90 + 30, jadi sin 120° dapat dihitung dengan
Sin 120° = Sin [90° + 30°]
= Cos 30°
Nnilainya positif karena soalnya adalah sin 120°, di kuadran 2, maka hasilnya positif.
Cos 30° = ½ √3

Cara 2
Coba perhatikan gambar di bawah ini:

Selain cara 1, kita dapat membuat 120° = 180° – 60°. Sehingga:
Sin 120° = Sin [180° – 60°]
Dengan mengacu pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa
sin [180° – α°] = sin α°
maka akan diperoleh sebagai berikut:
Sin 120° = Sin [180° – 60°]
= sin 60o
= ½ √3

CONTOH 5
Sin 150 = sin [180 – 30]
= sin 30
= 1/2

CONTOH 6
tan 135 = tan [180 – 45]
= – tan 45
= – 1/1
= -1

CONTOH 7
Soal: Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°
Jawaban:
2 cos 75° cos 15° = cos [75 +15]° + cos [75 – 15]°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

CONTOH 8
Soal: Tentukan nilai dari cos 315°
Jawaban:

Cara 1
dengan mengacu pada gambar di bawah ini:

dapat kita buat menjadi cos 315° = cos [360° – 45°]
Dengan melihat gambar di atas bahwa cos [360° – α°] = cos α°
Sehingga
cos 315° = cos [360° – 45°]
=cos 45°
=  ½ √2

dapat kita buat cos 315° = cos [270° + 45°]
dengan melihat gambar di atas bahwa:
cos [270° + α°] = sin α°
maka
cos 315° = cos [270° + 45°]
= cos 45°
= ½ √2

CONTOH 9
Soal: Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°
Jawaban:
sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 [105° + 15°] . cos 1/2 [105° – 15°]
= 2 sin 1/2 [120°] . cos 1/2 [90°]
= 2 sin 60° . cos 45°
= 2. 1/2 √3. 1/2 √2
= 1/2 √6

CONTOH 10
Soal: Tentukan nilai dari cos 75° – cos 15°
Jawaban:
cos 75° – cos 15° = -2 sin 1/2 [75° + 15°] . sin 1/2 [75° – 15°]
= -2 sin 1/2 [90°] . sin 1/2 [60°]
= -2 sin 45° . sin 30°
= -2. 1/2 √2. 1/2
= -1/2 √2

CONTOH 11
Soal: Tentukan nilai dari 2 sin75 cos15 !
Jawaban:
2 sin75 cos 15 = sin[75 + 15] + sin[75 – 15]
= sin 90 + sin 60
= 1 + 1/2 √3

CONTOH 12
Soal: Dengan menggunakan rumus penjumlahan dan selisih dua sudut, tentukan nilai dari !
a. sin 75°
b. cos 15°

Jawaban a :
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita perlu mengingat kembali rumus selisih dibawah ini:
sin [ α + β ] = sin α cos β + cos α sin β
sin 75° = sin [ 45° + 30°]
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 . 1/2 √3  +  1/2 √2 .  1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2
= 1/4 [ √6 + √2]

Jawaban b:
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita perlu mengingat kembali rumus selisih dibawah ini:
cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β
Kemudian kita dapat menjawab pertanyaan di atas.
Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut:
cos 15° = cos [ 45° – 30°]
= cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30
= 1/2 √2 . 1.2 √3 + 1/2 √2 . 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2
= 1/4 [ √6 + √2]

CONTOH 13
Soal: Diketahui cos (x – y) = 4/5 dan sin x.sin y = 3/10. Tentukan nilai tan x.tan y
Jawaban:
cos [x – y] = cos x cos y + sin x sin y
4/5 = cos x cos y + 3/10
4/5 – 3/10 = cos x cos y
1/2 = cos x cos y
tan x.tan y = [sin x sin y]/[cos x cos y]
= [3/10] / [1/2]
= 3/5

CONTOH 14
Soal: Jika yang diketahui adalah sin x = 8/10, 0 < x < 90°. Maka tentukan nilai cos 3x
Jawaban:
sin x = 8/10 cos x = 6/10
cos 3x = cos [2x + x]
= [cos 2x][cos x] – [sin 2x][sin x]
= cos [x + x][cos x] – [sin [x + x]][sin x]
= [cos2 x – sin2 x][cos x] – [x cos x + cos x sin x][sin x]
= [[3/5]2 – [4/5]2][3/5] – [4/5.3/5 + 3/5.4/5][4/5]
= [9/25 – 16/25][3/5] – [12/25 + 12/25][4/5]
= [-7/25][3/5] – [24/25][4/5]
= [-21/125] – [96/125]
= – 117/125

Nahhhhh…. pada 14 contoh di atas, soal-soalnya hanya berada pada 0° – 360°. Bagaimana jika sedutnya lebih dari 360° ????
Nahhhh berikut ini merupakan contoh..

CONTOH 13
Soal: Tentukan nilai dari sin 660°
Jawaban:
sin 660° = sin [720° – 60°]
= sin [2×360° – 60°]
= – sin 60°
= – 1/2 √3

Demikian “Contoh Soal Trigonometri pada Sudut Istimewa”

Semoga bermanfaat