Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang cara menentukan ekstrim lokal dan ekstrim global. Namun, sebelum Gengs pelajari lebih lanjut ada baiknya geng pelajari materi titik kritis terlebih dahulu.
Baca juga: Cara Menentukan Titik Kritis
Apa itu nilai ekstrim lokal?
f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.
Apa itu nilai maksimum lokal?
f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat interval (a,b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S.
Apa itu nilai minimum lokal?
f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat interval (a,b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S.
Contoh 1
Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x)=x²-6x+5 pada (-∞,∞)
Jawab:
f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.
Perlu kita ketahui bahwa fungsi pilonom f kontinu dimana-mana dan turunannya. Oleh karena itu:
f(x)=x²-6x+5
f’(x)= 2x-6
f’(x)=0
2x-6=0
2x=6
x=3
Satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal yakni x=3.
Selanjutnya kita akan menggunakan Uji Turunan Pertama untuk mengetahui apakah f(c) merupakan minimum lokal f atau maksimum lokal f.
Teorema Uji Turunan Pertama bagi ekstrim lokal:
i. Jika f’ berubah tanda dari negatif ke positif, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal.
ii. Jika f’ berubah tanda dari positif ke negatif, maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal.
iii. Jika f’ tidak berubah tanda, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal.
Misal pada garis bilangan. Kita ambil sebuah bilangan sebelum dan sesudah 3. Misal angka 1 dan 4. Maka:
f’(1)=2(1)-6=-4
f’(4)=2(4)-6=2
Telah kita ketahui bahwa titik kritis x=3
f(x)=x²-6x+5
f(3)=9-6(3)+5=-4
Karena f’(3) berubah tanda dari negatif ke positif, maka f(3)=-4 merupakan nilai minimum lokal.
Menurut Uji Turunan Pertama, f(3)=-4 adalah nilai minimum lokal. Karena 3 adalah satu-satunya titik kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. f'(3) berada di antara f'(1) dan f'(4)
CATATAN: Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f(c), dengan Uji Turunan Pertama dapat disimpulkan bahwa f(c) juga merupakan nilai ekstrim global.
Contoh 2
Carilah nilai-nilai maksimal dan minimum lokal dari fungsi yang diberikan pada interval berikut:
f(x)=x⁴ – 2x³
Jawab:
Nilai kritis
f’(x)=0
4x³-6x²=0
2x²(2x-3)=0
x=0 atau x=3/2
f’(x) tidak ada jika $xin varnothing$
Jadi, bilangan kritis yaitu 0 dan 3/2
Selanjutnya kita akan menggunakan Uji Turunan Pertama untuk mengetahui apakah f(c) merupakan minimum lokal f atau maksimum lokal f.
Misal dengan garis bilangan. Kita ambil sebuah bilangan sebelum 0, antara 0 dan 3/2 , dan sesudah 3/2. Misal angka -1, 1 dan 2. Maka:
f’(-1)=-4-6=2
f’(1)=4-6=-2
f’(2)=32-24=8
Telah kita ketahui bahwa titik kritis yaitu x=0 dan x=3/2
f(x)=x⁴ – 2x³
f(0)=0
f(x)=x⁴ – 2x³
f’(3/2)=(3/2)⁴ – 2 (3/2)³ = -27/16
Karena f’(3/2) [berada di antara f’(1) dan f’(2)] berubah tanda dari negatif ke positif, f(3/2)=-27/16 merupakan nilai minimum lokal.
CATATAN: f’(0)=0 adalah bilangan kritis tetapi f(0) bukanlah nilai ekstrim lokal.
Contoh 3
Tentukan ekstrim lokal fungsi f(x)=x³ – 3x² + 5 pada $mathbb{R}$
Jawab:
1. Menentukan bilangan kritis
f(x)=x³ – 3×2 + 5
f’(x)=3x²-6x
f’(x)=0
3x²-6x=0
3x(x-2)=0
x=0 atau x=2
f’(x) tidak ada jika x∈∅
Jadi, bilangan kritis yaitu 0 dan 2
2. Untuk x=0
f(x)=x³ – 3x² + 5
f(0)=0-0+5=5
Untuk x=2
f(x)=x³ – 3x² + 5
f(2)=8-12+5=1
Dengan demikian nilai maksimum global f(0)=5 dan nilai minimum global f(2)=1
Contoh 4
Diketahui fungsi f(x)=x³ – 3x² + 5. Tentukan nilai ekstrim global f pada interval [-1,2]
Jawab:
Perhatikan bahwa f kontinu pada [-1,2] atau -1<x<2
1. Menentukan bilangan kritis
f(x)=x³ – 3x² + 5
f’(x)=0 dan -1<x<2
3x² – 6x = 0 dan -1<x<2
3x(x-2) = 0 dan -1<x<2
[x=0 atau x=2 ] dan -1<x<2
x=0
f’(x) tidak ada jika x∈∅
jadi, bilangan kritis yaitu 0
2. Untuk x=0
f(x)=x³ – 3x² + 5
f(0) = 0 – 0 + 5 = 5
untuk x=-1
f(x)=x³ – 3x² + 5
f(-1)=-1-3+5=1
untuk x=2
f(x)=x³ – 3x² + 5
f(2)=8-12+5=1
Dengan demikian nilai maksimum global f(0)=5 dan nilai minimum global f(-1)=f(2)=1
Contoh 5
Carilah nilai-nilai maksimal dan minimum lokal dari fungsi yang diberikan pada interval berikut:
f(x)=x³ – 3x
Jawab:
Nilai kritis
f’(x)=0
3x² -3=0
3(x² – 1)=0
x=-1 atau x=1
f’(x) tidak ada jika x∈∅
Jadi, bilangan kritis yaitu -1 dan 1
Selanjutnya kita akan menggunakan Uji Turunan Pertama untuk mengetahui apakah f(c) merupakan minimum lokal f atau maksimum lokal f.
Misal dengan garis bilangan. Kita ambil sebuah bilangan sebelum -1, antara -1 dan 1 , dan sesudah 1. Misal angka -2, 0 dan 2. Maka:
f’(x)=3x² -3
f’(-2)=12-3=9
f’(0)=0 – 3 = -3
f’(2)=12-3 = 9
Telah kita ketahui bahwa titik kritis yaitu x=-1 dan x=1
f(x)=x³ – 3x
f’(-1)= -1 – 3(-1) = 2
f(x)=x² – 3x
f’(1)=1 – 3(1) = -2
Karena f’(-1) [berada diantara f’(-2) dan f’(0)] berubah tanda dari positif ke negatif, f(-1)=2 merupakan nilai maksimum lokal.
Karena f’(1) [berada diantara f’(0) dan f’(2)] berubah tanda dari negatif ke positif, f(1)=-2 merupakan nilai minimum lokal.
CATATAN: f’(0)=0 adalah bilangan kritis tetapi f(0) bukanlah nilai ekstrim lokal.
Demikian Cara Menentukan Nilai Ekstrim Lokal dan Ekstrim Global.
Semoga Bermanfaat.
