Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar. Pemberian nama pada matriks ditulis dengan huruf besar, misalnya A, B, C,…,Z, dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom
Banyaknya baris dan kolom ini menentukan ukuran atau ordo matriks. Misalnya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka ordo matriks A adalah m x n, dengan m dan n merupakan bilangan bulat positif. Secara umum dapat ditulis matriks A = (aᵢⱼ), dengan (aᵢⱼ) adalah elemen matriks A dengan i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…,n.
Atau matriks A dapat ditulis dalam bentuk:
Contoh:
Definisikan matriks A = (aᵢⱼ) yang berukuran 4 x 4 dengan
dengan i = 1,2,3,4 dan j = 1,2,3,4. Tentukan matriks A
Jawab:
$$A = \begin{pmatrix} 1 &1+2 &1+3 &1+4 \\ 0 &1 &2+3 &2+4 \\ 0 &0 &1 &3+4 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$
$$A = \begin{pmatrix} 1 &1+2 &1+3 &1+4 \\ 0 &1 &2+3 &2+4 \\ 0 &0 &1 &3+4 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 1 &3 &4 &5 \\ 0 &1 &5 &6 \\ 0 &0 &1 &7 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$
Sub matriks dari matriks A adalah sembarang matriks yang didapatkan dengan cara menghilangkan beberapa baris atau kolom tertentu dari matriks A. Matriks A sendiri dapat dipandang sebagai sub matriks dari A.
Contoh:
Sub matriks dari matriks
$$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}$$
antara lain adalah:
$$\begin{pmatrix} 1 &3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 &8 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 &5 &6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 5\\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 7 &9 \end{pmatrix},$$
$$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}$$
Bentuk Matriks Khusus
- Suatu matriks disebut matriks segi, jika banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Jika banyaknya kolom = banyaknya baris = n, maka matriks tersebut dikatakan matriks segi berordo n atau berukuran n. Sedangkan elemen elemen a₁₁, a₂₂, … ,aₙₙ disebut elemen diagonal utama.
- Suatu matrik segi disebut matriks segitiga atas, jika elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Sedangkan matriks segitiga bawah, jika elemen di atas diagonal utama bernilai nol.
- Suatu matriks segi disebut matriks identitas, jika semua elemen diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan yang lainnya bernilai nol. Matriks identitas berukuran n, diberi notasi Iₙ.
Contoh:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &0 &8 \\ 1 &1 &9 \end{pmatrix}\) merupakan matriks segi berordo/berukuran 3, karena banyaknya baris = banyaknya kolom = 3
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &4 &6 \\ 0 &0 &9 \end{pmatrix}\) merupakan matriks segitiga atas, karena semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.
OPERASI MATRIKS
Penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks serta perkalian dengan skalar.
Tinjau A dan B dua matriks yang berukuran sama, misalkan ukurannya m x n
\(A= \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &. &. &. &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. &a_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ a_{m1} &a_{m2} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix},\)
\(B = \begin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &. &. &. &b_{1n} \\ b_{21} &b_{22} &. &. &. &b_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ b_{m1} &b_{m2} &. &. &. &b_{mn} \end{pmatrix}\)
Penjumlahan dan pengurangan matrik A dan B, ditulis A(pm)B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak antara matriks A dan B, yaitu:
\( A \pm B= \begin{pmatrix} a_{11}\pm b_{11} &a_{12}\pm b_{12} &. &. &. &a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21}\pm b_{21} &a_{22}\pm b_{22} &. &. &. &a_{2n}\pm b_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ a_{m1}\pm b_{m1} &a_{m2}\pm b_{m2} &. &. &. &a_{mn}\pm b_{mn} \end{pmatrix},\)
Penjumlahan dan pengurangan matriks tidak dapat dilakukan jika kedua matriks berbeda ukurannya.
Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, adalah matriks yang diperoleh dengan mengalihkan setiap elemen A dengan skalar k, yaitu:
\(kA = \begin{pmatrix} ka_{11} &ka_{12} &. &. &. &ka_{1n} \ ka_{21} &ka_{22} &. &. &. &ka_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ ka_{m1} &ka_{m2} &. &. &. &ka_{mn} \end{pmatrix},\)
Contoh:
Misalkan matriks
Hukum-Hukum pada Penjumlahan/Pengurangan dan Perkalian Skalar
Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks berukuran sama dan k₁ k₂ skalar, maka
- ( A + B ) + C = A + ( B + C )
- A + ( -A )=O
- A + B = B + A
- k₁ ( k₁ A + k₁ B ) =
- 0A = O
Catatan: O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
Perkalian Matriks
Tinjau matriks A = (), dan B = (), dengan banyaknya kolom matrik A sama dengan banyaknya baris matriks B. Misalkan A berukuran m x p dan B berukuran p x n, maka matriks hasil kali A dan B adalah berukuran m x n yang elemen ke-ij diperoleh dari mengalikan baris ke-i dari matriks A dengan kolom ke-j dari matriks B, seperti dibawah ini.
dengan,
cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ+aᵢ₂b₂ⱼ+…+aᵢₚbₚⱼ
Contoh:
Misalkan matriks
Perhatikan, ukuran matriks A adalah 2 x 3 dan matriks B berukuran 3 x 1, sehingga matriks hasil perkalian AB berukuran 2 x 1 seperti berikut:
Hukum-Hukum pada Perkalian Matriks
- ( A B ) C = A ( B C ) Hukum assosiatif
- A ( B + C ) = A B + A C Hukum Distributif Kiri
- ( B + C ) A = B A + C A Hukum Distributif Kanan
- k ( AB ) = ( k A ) B = A ( k B) k skalar
Catatan: AB # BA
Contoh:
Misalkan matriks
maka:
$$A+B = \begin{pmatrix} 1 &1 &3 \\ 2 &5 &1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 &3 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &4 &5 \\ 3 &6 &5 \end{pmatrix}$$
$$3(A+B) = 3\begin{pmatrix} 1 &4 &5 \\ 3 &6 &5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$$
$$3A+3B = 3\begin{pmatrix} 1 &1 &3 \\ 2 &5 &1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0 &3 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} 3 &3 &9 \\ 6 &15 &3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &9 &6 \\ 3 &3 &12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} 3 &3 &9 \\ 6 &15 &3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &9 &6 \\ 3 &3 &12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$$
dari contoh di atas dapat dilihat bahwa, 3A +3B = 3(A+B)
Semoga Bermanfaat
