Soal Barisan dan Deret Geometri SMA Kelas 10

Pada kesempatan kali ini, saya akan memposting contoh soal aplikasi dari materi barisan dan deret geometri. Pada materi barisan dan deret geometri, Gengs akan menemukan huruf a, n, r, U dan S.
Inti dari mengerjakan soal-soal berikut ini yaitu Geng menguasai materi barisan dan deret geometri. Jadi, bagi kalian yang belum paham materinya, silahkan pelajari materinya.

Soal 1
Jumlah penduduk suatu kota dalam 5 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan Badan Pusat Statistik (BPS), pada tahun 2024 mendatang jumlah penduduk kota tesebut akan mencapai 1,2 juta orang. Berapa jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2004?
Penyelesaian
Diketahui:
n=5 (tahun 2004- tahun 2024) terjadi 5 kali sensus penduduk
r=2
$U_n$=U₅= 1,2 juta
Ditanya: berapa jumlah penduduk pada tahun 2004 (U₁) ?
Jawab
U₅=1.200.000
ar⁴ = 1.200.000
a(2⁴)=1.200.000
16a=1.200.000
a=75.000
dengan demikian, jumlah penduduk pada tahun 2004 adalah 75.000 orang.

Soal 2
Pertambahan penduduk tiap tahun pada suatu desa mengikuti aturan deret geometri. Pertambahan penduduk pada tahun 1989 sebesar 48 orang dan tahun 1991 sebanyak 432 orang. Pertambahan penduduk tahun 1994 adalah…?
Penyelesaian
Diketahui:
n=6 (dari tahun 1989- tahun 1994)
a=48
U₃=432
Ditanya: berapa pertambahan penduduk tahun 1994 (U₆)
Jawab
U₃=432
ar²=432
48r² = 432
r²=9
r=3
dengan demikian,
U₆= ar⁵
= (48)(3⁵)

= 48 (243)
= 11.664
Jadi, pertambahan penduduk tahun 1994 yaitu sebanyak 11.664 orang.

Soal 3
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2 meter dan memantul kembali dengan 4/5 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini terus berlangsung hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola tersebut adalah…
Penyelesaian
Diketahui:
Ketinggian 1= 2 meter
Ketinggian 2 = 2 x 4/5 = 8/5 meter
Ketinggian 3 = 8/5 x 4/5 = 32/25
Sampai berhenti
Ditanya: jumlah seluruh lintasan?
Jawab
Jumlah seluruh lintasan sampai berhenti adalah
= 2 + 2{8/5 + 32/25 + …}
= 2 + 2 [a/(1-r)]
= 2 + 2 [8/5  / (1-4/5)]
= 2 + 2 (8)
= 18 lintasan

Soal 4
Seutas tali dibagi dengan panjang membentuk barisan geometri. Jika tali yang paling pendek panjangnya 4 cm dan yang paling panjang panjangnya 128 cm. panjang tali seluruhnya adalah…
Penyelesaian
Diketahui:
n=6
misal: panjang yang  pendek = U₁=a = 4
panjang yang paling panjang = U₆ = 128
Ditanya: panjang tali seluruhnya atau S₆=…?

Jawab
r-nya belum diketahui, maka kita cari dahulu nilai r-nya dari apa yang telah kita ketahui.
4U₁=a=4

U₆=ar⁵
128 = (4)(r⁵)
r⁵ = 32

r⁵ =2⁵
r=2
dengan demikian,
S₆=a(rⁿ -1)/(r-1)=4(2⁶-1)/(2-1)=4(64-1)=4(63)=252

Soal 5
Pada saat awal pengamatan 8 virus jenis tertentu, setiap 24 jam masing-masing virus membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka banyaknya virus pada hari ke-6 adalah…?
Penyelesaian
Diketahui:
a=24
r=2
n=6
Setiap 96 jam (4 hari), ¼ dari seluruh virus dibunuh.
Ditanya: banyak virus pada hari ke-6 ?
jawab
Hari pertama = 8
Hari kedua = 16
Hari ketiga = 32
Hari keempat=64
Setiap 96 jam atau 4 hari, ¼ dari seluruh virus dibunuh maka:
¼ x 64 = 16
Dari 64 virus, 16 virus dibunuh. Maka sisanya 48 virus.
Hari kelima = 96
Hari keenam = 192
Jadi, jumlah virus pada hari ke-6 adalah 192.

Semoga bermanfaat.