Limit dan Kekontinuan – Contoh+Penyelesaian

Tidak henti-hentinya saya terus akan memberikan contoh-contoh soal beserta cara menyelesaikannya. Kesempatan kali ini, saya akan memberikan enam (6) soal tentang limit dan kekontinuan. Sebelum berlatih mengerjakan soal-soal di bawah ini, ada baiknya jika dipelajari materinya terlebih dahulu.

Nomor 1
Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika ada berikan alasannya.
(a). \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)
(b). \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}\)

Jawab:
(a). Akan diperoleh seperti berikut

\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}(x-1)=1\)

(b). Karena,

\(|x|=\begin{cases} x & \text{ , } x\ge 0 \\ -x & \text{ , } x\lt 0 \end{cases}\)

maka:
\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{x}=+\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{x}=+\infty\)

sehingga,
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}=+\infty\)

Nomor 2
Diberikan fungsi f dengan
\(f(x)=\begin{cases} x^{2} & \text{ , } x\le 0 \\ 2x+3 & \text{ , } x\gt a \end{cases}\)
Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:
f(a)=a²
\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}(2x+3)=2a+3\)
\(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}(x^{2})=a^{2}\)

Agar f kontinu di x = a maka haruslah
\(a^{2}=2a+3)\Leftrightarrow a^{2}-2a-3=0\)
\(\Leftrightarrow (a-3)(a+1)=0\)
\(\Leftrightarrow a=3 ; a=-1\)

Nomor 3
Diketahui fungsi f sebagai berikut:
\( f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{ , } x\lt 2 \\ 4 & \text{ , } x=2 \\ x^{2}-1 & \text{ , } x\gt 2 \end{cases}\)
Periksa kekontinuan f di:
(a) x = 2
(b) x = 3

Jawab:
(a) Di x = 2 diperoleh:
f(2) = 4
\(\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(x+1)=3\)
\(\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(x^{2}-1)=3\)
Karena hasil limit di atas tidak sama dengan hasil dari f(2) maka f tak kontinu di x = 2

(b) Di x = 3 diperoleh:
f(3)=x²-1=3²-1=8
\(\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3}(x^{2}-1)=8\)
Karena hasil yang diperoleh dari perhitungan limit di atas sama dengan hasil dari f(3) maka f kontinu di x = 3

Jangan Lupa, Baca Juga:
Limit dan Kekontinuan (Kalkulus)

Nomor 4
Diketahui fungsi-fungsi f dan g yang memenuhi sebagai berikut:
\(\lim_{x\rightarrow 1}(2-f(x))=1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1}(f+g)(x)=20\)
Tentukan: \(\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\)

Jawab:
Dengan menggunakan hukum-hukum limit, akan diperoleh sebagai berikut.
\(\lim_{x\rightarrow 1}(2-f(x))=1\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}2-\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1\)
\(\Leftrightarrow 2-\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1\)
sehingga,
\(\lim_{x\rightarrow 1}(f+g)(x)=20\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}(f(x)+g(x))=20\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}f(x)+\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=20\)
\(\Leftrightarrow 1+\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=20\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}g(x)=19\)

Nomor 5
Jika ada, tentukan limitnya; jika tidak ada, berikan alasannya.
(a)  \(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+6x-27}{x^{2}-6}\)
(b)  \(\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\) dengan
$f(x)=left{begin{matrix} -1 &; &0leq x< 1 \ 0& ; & 1< x< 2 end{matrix}right.$

Jawab:
(a)  Akan diperoleh seperti berikut.
\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+6x-27}{x^{2}-6}\)
\(= \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)(x+9)}{(x-3)(x+3)}\)
\(= \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+9)}{(x+3)}\)
\(=\frac{3+9}{3+3}=2\)

(b) Akan diperoleh:
$f(x)=left{begin{matrix} -1 &; &0leq x< 1 \ 0& ; & 1< x< 2 end{matrix}right.$
Akan dicari limit kiri dan limit kanan.
Limit kiri:
\(\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(-1)=-1\)

Limit kanan:
\(\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}0=0\)
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka  \(\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\) tidak ada.

Ingin berlatih soal tentang limit lebih banyak, silahkan klik di bawah ini:
Contoh Soal dan Jawaban – Limit, Kekontinuan dan Teorema Apit  

Nomor 6
Tanpa menggunakan aturan l’Hopital, maka hitunglah.
(a) \(\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}})\)
(b) \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}\)

Jawab:
(a) Akan diperoleh seperti di bawah ini.
\(\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}})\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x})\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}0=0\)

(b) Akan diperoleh.
\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}\)
=\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)
=\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)}\)
=\(\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)(\sqrt{x}+1)=4\)
Selamat mencoba Gengs..