Contoh Soal Persamaan Eksponen dan Pembahasan

Hallo Gengs Apa kabar? Semoga kita selalu dalam lindunganNya. Pada kesempatan kali ini, akan diberikan contoh-contoh soal plus pembahasannya tentang persamaan eksponensial. Persamaan eksponensial adalah persamaan bilangan berpangkat yang memuat variabel di bagian pangkatnya. Bentuk umum persamaan eksponensial adalah y = ab x, di mana x dan y adalah variabel, sedangkan a dan b adalah konstanta.

Contoh 2
Soal: Carilah bentuk sederhana dari \((\frac{a^{\frac{1}{2}} b^{-3}}{a^{-1} b^{\frac{-3}{2}}})^{\frac{2}{3}}\) adalah …
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, maka :

Contoh 3
Soal: Tentukan nilai dari \(\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}\)
Jawab:
\(\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=\frac{2^{2}(2^{3}-2^{5})}{2^{2}}\)
=\(2^{3}-2^{5}\)
= 8 – 32 = -24

Contoh 4
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut
3ˣ⁺²+3ˣ=10
Jawab:
3ˣ⁺²+3ˣ=10
3ˣ(3²+1)=10

Contoh 6
Soal: Tentukan nilai x dari persamaan 3⁵ˣ⁻¹ – 27ˣ⁺³ = 0
Jawab:
3⁵ˣ⁻¹ – 27ˣ⁺³ = 0
3⁵ˣ⁻¹ = (3³)ˣ⁺³
3⁵ˣ⁻¹ = 3³ˣ⁺⁹
5x-1 = 3x + 9
   2x = 10
x = 5

Contoh 7
Soal: Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1
Jawab:
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1
Sehingga berdasarkan sifat 2, maka akan diperoleh sebagai berikut:
x – 1 = 0
x = 1
Dengan demikian nilai x yang kita peroleh yaitu 1.

Contoh 8
Soal: Jika 3ˣ⁻²ʸ =  1/81 dan 2ˣ⁻ʸ = 16, maka nilai x + y
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka
3ˣ⁻²ʸ = 1/81
3ˣ⁻²ʸ = 1/3⁴
3ˣ⁻²ʸ = 3⁻⁴ ……………………… pers 1

9 ^x²+x = 27 ^x²-1
Jawab:
9 ^x²+x = 27 ^x²-1
3 ^2(x²+x) = 3 ^3(x²-1) 
2 (x²+x) = 3 (x²-1)
2x² + 2x = 3x² – 3
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0 
x = 3     atau   x = -1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1,3 }

Contoh 10
Soal: Tentukan penyelesaian dari (23

)^x = 6^1-x
Jawab:
Basis pada kedua ruas persamaan di atas berbeda, begitu pula pangkatnya. Sehingga, berdasarkan sifat 3, maka akan diperoleh sebagai berikut:
Sifat-sifat logaritme yang akan kita gunakan pada contoh berikut:
1.  log aⁿ = n log a
2.  log a + log b = log (ab)  
log  (23

)^x = log 6^1-x
x log (23

) = (1 – x) log 6     
x log (23

) = log 6 – x log 6    
x log (23

) + x log 6 = log 6
x (log (23

) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6                   
x = log6log4

x = ⁴log 6
Sehingga penyelesaiannya adalah x = ⁴log 6
***Pelajari juga sifat-sifat dari logaritme

Contoh 11
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari 3^x2-1 = 2^x+1
Jawab:
Untuk menjawab soal ini, coba Gengs perhatikan kembali sifat nomor 3.
Nahhhhh berdasarkan sifat tersebut:
log 3^x2-1 = log 2^x+1
(x² – 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x + 1)(x – 1) log 3 = (x + 1) log 2
Perhatikan bahwa ruas kiri mempunyai faktor (x + 1) dan ruas kanan pun mempunyai faktor (x + 1) ini menandakan bahwa ruas kiri akan sama dengan ruas kanan apabila (x + 1) = 0
x + 1 = 0
       x = -1
Saat (x + 1) ≠ 0, maka
(x + 1)(x – 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x – 1) log 3 = log 2
x log 3 – log 3 = log 2
x log 3 = log 2 + log 3
x log 3 = log 6
x = log6log3

x = ³log 6
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-1,³log 6} 


Contoh12
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut.
25 ^x+2 = (0,2) ^1-x
Jawab
 
25 ^x+2 = (0,2) ^1-x 
5^2(x+2) = 5 ^-1(1-x)
2x + 4 = -1 + x
2x – x = -1 – 4
x         = -5
Jadi nilai x yang diperoleh yaitu  -5

Contoh 13
Soal: Jika 4ˣ – 4ˣ⁻ = 6 maka (2x)ˣ sama dengan ?
Jawab:
4ˣ – 4ˣ⁻¹ = 6
4ˣ – 1/4 . 4ˣ = 6
3/4 . 4ˣ = 6
4ˣ = 8
2²ˣ = 2³
2x = 3
x = 3/2
Sehingga,
(2x)ˣ = (2.3/2)ˣ = 3ˣ =$3^{3/2}$

Contoh 15
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 4)^4x = (x – 4)^1+3x
Jawab:
Untuk menjawab soal ini, Gengs perhatikan kembali sifat nomor 6.
Misalkan :
f(x) = x – 4,
g(x) = 4x  dan
h(x) = 1 + 3x

Solusi 1: g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1

Solusi 2: f(x) = 1
x – 4 = 1
x = 5

Solusi 3: f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x – 4 = -1
x = 3

Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12
h(x) = 1 + 3(3) = 10
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.
***Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4: f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x – 4 = 0
x = 4
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16
h(x) = 1 + 3(4) = 13
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.
***Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4, 5}

Contoh 16
Soal: Akar-akar persamaan 2.3⁴ˣ – 20.3²ˣ + 18 = 0$ adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ adalah
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka:

Solusi 3: Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sam dengan nol
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa:
(x² + 3x – 2) ≠ 0
(x² + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 [memenuhi]
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-3/2, -1/2, 6}


Jadi itulah tadi “contoh-contoh soal mengenai persamaan eksponen“. Jika ada yang masih kurang paham, silahkan tinggalkan komentar dibawah. Terima Kasih.

Semoga Bermanfaat