Pengertian Fungsi Invers
Jika fungsi f(x) dan g(x) terdefinisi dalam satu domain, sehingga fungsi identitas l(x) berlaku, maka fungsi g(x) dapat berlaku sebagai fungsi invers dari f.
Dituliskan dengan: f(x) ο f¯¹(x) = f¯¹(x) ο f(x) = 1
Fungsi f(x) mempunyai invers jika dan hanya jika f(x) fungsi bijektif (korespondensi satu-satu). Daerah hasil f(x) adalah daerah asal f¯¹(x) dan daerah asal f(x) adalah daerah hasil f¯¹(x).
Dituliskan dengan: Df(x) = Rf¯¹(x) dan Df¯¹(x) = Rf(x)
Sifat Invers Fungsi
Sifat invers suatu fungsi yaitu:
1. f(x) ο f¯¹(x) = f¯¹(x) ο f(x) = 1
2. (g ο f)¯¹(x) = f¯¹(x) ο g¯¹(x)
Demikian sedikit penjelasan tentang invers fungsi, selanjutnya akan saya berikan 13 contoh soal tentang invers fungsi beserta jawabannya.
Soal 1
Fungsi invers dari f(x)=(3x+4)/(2x-1) adalah….
Jawaban:
f(x)=(3x+4)/(2x-1)
Misalkan: y = f(x)
y = (3x+4)/(2x-1)
y(2x-1) = 3x+4
2xy – y = 3x+4
2xy-3x = 4+y
x(2y-3) = 4+y
x = (4+y)/2y-3
Dengan demikian,
f¯¹(x) = (4+x)/(2x-3)
Soal 2
Diketahui f(x) = x / (x+1) dan g(x) = 2x-1, maka (f ο g)¯¹(x) adalah…
Jawaban:
f(x) = x / (x+1)
g(x) = 2x-1
(f ο g)(x) = f( g(x) )
= f(2x-1)
= (2x-1)/[(2x-1)+1]
= (2x-1)/2x
Misalkan: y = (f ο g)(x)
y = (2x-1)/2x
2xy = 2x-1
2xy-2x = -1
x(2y-2) =-1
x = -1/(2y-2)
Dengan demikian,
(f ο g)¯¹(x) = -1/(2x-2)
Soal 3
Fungsi f didefinisikan oleh f(x) = (3x+4)/(2x+1), x# – ½ . Jika f¯¹ invers dari f, maka f¯¹(x+2) adalah…
Jawaban:
f(x) = (3x+4)/(2x+1)
Misalkan: y = f(x)
y = (3x+4)/(2x+1)
y(2x+1) = (3x+4)
2xy + y = 3x+4
2xy-3x = 4-y
x(2y-3) = 4-y
x = (4-y)/(2y-3)
f¯¹(x) = (4-x)/(2x-3)
f¯¹(x+2) =[4-(x+2)]/[2(x+2)-3]
= (4-x-2)/(2x+4-3)
= (2-x)/(2x+1), x#- ½
Soal 4
Fungsi f ditentukan oleh f(x) = (2x+1)/(x-3), x#3. Jika f¯¹ invers dari f, maka f¯¹(x+1) adalah…
Jawaban:
f(x) = (2x+1)/(x-3)
Misalkan: y = f(x)
y = (2x+1)/(x-3)
y(x-3) = (2x+1)
yx-3y = 2x+1
yx-2x = 1+3y
x(y-2) = 1+3y
x=(1+3y)/(y-2)
f¯¹(x) = (1+3x)/(x-2)
f¯¹(x+1) =[1+3(x+1)]/[(x+1)-2]
=(1+3x+3)/(x+1-2)
=(3x+4)/(x-1), x#1
Soal 5
Fungsi f ditentukan oleh f(x) = (2x+3)/(x-1), x#1. Jika f¯¹ invers dari f, maka f¯¹(x+2) adalah…
Jawaban:
f(x) = (2x+3)/(x-1)
Misalkan: y = f(x)
y = (2x+3)/(x-1)
y(x-1) = 2x+3
yx-y = 2x+3
yx-2x = 3+y
x(y-2) = 3+y
x = (3+y)/(y-2)
f¯¹(x) = (3+x)/(x-2)
f¯¹(x+2) = (3+(x+2))/((x+2)-2)
= (5+x)/x, x#0
Soal 6
Jika (f ο g)(x) = x²-4x dan g(x)=x+1 maka f¯¹(x) adalah…
Jawaban:
g(x)=x+1
(f ο g)(x) = x²-4x
f( g(x) ) = x²-4x
f( x+1 ) = (x+1)² – 2x-1 – 4x
=(x+1)² – 6x – 1
=(x+1)² – 6(x+1) + 5
f(x) = x² – 6x + 5 =(x-3)² – 4
Misalkan y=f(x)
y = (x-3)² – 4
(x-3)² = y+4
x-3 = √(y+4)
x = 3 + √(y+4)
f¯¹(x) = 3 + √(x+4)
Soal 7
Diketahui f(x-2) = (x-2)/(2x-3), x#3/2 dan f¯¹ adalah invers fungsi f(x). Rumus f¯¹(3x+1) adalah…
Jawaban:
f(x-2) = (x-2)/(2x-3), x#3/2
f(x-2) = (x-2) /[2(x-2)+1]
f(x) = x/(2x+1)
f(x) = x/(2x+1)
Misalkan: y = f(x)
y = x/(2x+1)
y(2x+1) = x
2xy+y=x
2xy-x = -y
x(2y-1)=-y
x = -y/(2y-1)
f¯¹(x) = -x/(2x-1)
f¯¹(3x+1) = [-(3x+1)]/[2(3x+1)-1]
= (-3x-1)/(6x+2-1)
= (-3x-1)/(6x+1), x#-1/6
Soal 8
Fungsi f:R→R dan g:R→R ditentukan dengan f(x) = 5/x, x#0 dan (f ο g)(x) = (3x-4)/2x, x#0 maka g¯¹(-5) adalah…
Jawaban:
f(x) = 5/x
(f ο g)(x) = (3x-4)/2x
f( g(x) ) = (3x-4)/2x
5/g(x) = (3x-4)/2x
5(2x) = g(x) (3x-4)
10x = g(x) (3x-4)
g(x) = 10x/(3x-4), x#4/3
g(x) = 10x/(3x-4)
Misalkan: y = g(x)
y = 10x/(3x-4)
y(3x-4) = 10x
3xy-4y = 10x
3xy = 10x + 4y
3xy – 10x = 4y
x(3y-10) = 4y
x = 4y/(3y-10)
g(x)¯¹ = 4x/(3x-10)
g(-5)¯¹ = 4(-5)/(3(-5)-10)
= -20/(-15-10)
= -20/-25
= 4/5
Soal 9
Fungsi f:R→R dan g:R→R ditentukan dengan f(x) = 3x-4 dan g(x)= 2/(x-1), x#1 maka (g ο f)¯¹(x+2) adalah…
Jawaban:
(g ο f)(x) = g( f(x) )
= g( 3x-4 )
= 2/(3x-4-1)
= 2/(3x-5)
(g ο f)(x) = 2/(3x-5)
Misalkan: y = (g ο f)(x)
y = 2/(3x-5)
y(3x-5) = 2
3xy – 5y = 2
3xy = 2 + 5y
x = (2+5y)/3y
(g ο f)¯¹(x) = (2+5x)/3x
(g ο f)¯¹(x+2) = (2+5(x+2))/(3(x+2))
= (2+5x+10)/(3x+6)
= (5x+12)/(3x+6), x#-2
Soal 10
Fungsi f:R→R dan g:R→R dirumuskan dengan f(x)=2x-1 dan g(x)=3x+5, maka (g ο f)¯¹(a) = -2. Nilai a adalah…
Jawaban:
Jika f(x)=2x-1
g(x)=3x+5
(g ο f)(x) = g(f(x))
= g(2x-1)
= 3(2x-1)+5
= 6x-3+5
= 6x+2
Misalkan (g ο f)(x) = y
y=6x+2
6x = y-2
x = (y-2)/6
(g ο f)¯¹(x) = (x-2)/6
(g ο f)¯¹ (a) =-2
(a-2)/6 = -2
a-2 = -2(6)
a-2 = -12
a = -10
Soal 11
Jika (f ο g)(x) = 4x²+8x – 3 dan g(x)=2x+4 maka f¯¹(x) adalah…
Jawaban:
g(x)=2x+4
(f ο g)(x) = 4x²+8x – 3
f( g(x) ) = 4x² + 8x – 3
f( 2x+4 ) = (2x+4)² – 4(2x+4) – 3
f(x) = x² – 4x – 3
y = x²-4x-3
y = (x-2)² – 7
(x-2)² = y+7
x-2 = √(y+7)
x = 2+√(y+7)
f¯¹(x) = 2+√(x+7)
Soal 12
Diberikan fungsi f dan g dengan f(x)=2x+1 dan (f ο g)(x) = x/(x+1), x#-1, maka invers dari fungsi g(x) adalah…
Jawaban:
f(x)=2x+1
(f ο g)(x) = x/(x+1)
f( g(x) ) = x/(x+1)
2g(x) + 1 = x/(x+1)
2g(x) = [x/(x+1)] – 1
2g(x) = [x/(x+1)] – [(x+1)/(x+1)]
2g(x) = [(x-(x+1)]/(x+1)
2g(x) = -1/(x+1)
g(x) = -1/2(x+1)
g(x) = -1/(2x+2)
Untuk mencari g¯¹(x), misalkan g(x) = y
y = -1/(2x+2)
y(2x+2) = -1
2xy+2y = -1
2xy = -2y-1
x = (-2y-1)/2y
Dengan demikian
g¯¹(x) = (-2x-1)/2x
Soal 13
f(x) = x+2 untuk x>0, g(x) = 15/x untuk x>0. Dengan demikian (f¯¹ ο g¯¹)(x) = 1 untuk x sama dengan…
Jawaban:
Pertama
f(x) = x+2, x>0
Misalkan y=f(x)
y=x+2
x=y-2
f¯¹(x) = x-2
Kedua
g(x) = 15/x, x>0
misalkan y=g(x)
y=15/x
yx=15
x=15/y
g¯¹(x)=15/x
(f¯¹ ο g¯¹)(x) = 1
f¯¹(g¯¹(x) ) = 1
f¯¹(15/x) = 1
(15/x)-2 = 1
(15/x) –(2x/x) = 1
(15-2x)/x = 1
15-2x = x
-2x-x = -15
-3x = -15
x = 5
Demikian Contoh Soal Fungsi Invers dan Jawabannya. Semoga Bermanfaat.
