Bilangan berpangkat dan bentuk akar merupakan materi matematika yang membutuhkan ketelitian dalam memahami konsep dan menerapkan sifat-sifatnya. Untuk menguji sejauh mana pemahaman terhadap materi tersebut, diperlukan latihan melalui berbagai bentuk soal, mulai dari operasi sederhana hingga soal yang membutuhkan penalaran. Oleh karena itu, pada pembahasan ini disajikan berbagai soal bilangan berpangkat dan bentuk akar yang dapat digunakan untuk melatih kemampuan berhitung, memahami konsep, serta meningkatkan keterampilan dalam menyelesaikan permasalahan matematika.
Sebelum kita mengerjakan soal-soalnya, lebih baik kita pelajari materinya terlebih dahulu. Berikut ini dua link yang bisa digunakan untuk mempelajari materinya yaitu 1) Bentuk Akar Persamaan Kuadrat Kelas 9 SMP; 2) Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Kelas 9 SMP. Tanpa basa-basi lagi, berikut ini 30 soal bilangan berpangkat dan bentuk akar kelas 9 SMP.
A. Pilihlah jawaban yang benar
Soal 1
Nilai diskriminan persamaan kuadrat -3x² + 5x – 4 = 0 adalah….
a. -48
b. -23
c. 63
d. 73
Jawaban: b. -23
Soal 2
Persamaan kuadrat x² + 6x – (p + 3) = 0 mempunyai diskriminan 44. Nilai p yang memenuhi adalah….
a. -4
b. -2
c. -1
d. 4
Jawaban: c. -1
Soal 3
Perhatikan persamaan-persamaan kuadrat berikut.
(i) x² +4x+4=0
(ii) x² +4x-4=0
(iii) -x² – 6x + 9= 0
Persamaan kuadrat yang mempunyai dua akar real kembar adalah….
a. (i) dan (ii)
b. (i) dan (iii)
c. (ii) dan (iii)
d. (i), (ii), dan (iii)
Jadi, jawabannya adalah: (i)
Soal 4
Pernyataan berikut yang benar adalah …
a. Persamaan kuadrat 3x² – x – 6 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.
b. Persamaan kuadrat x² + 4x + 20 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.
c. Persamaan kuadrat -2x² + x + 18 = 0 tidak mempunyai akar real.
d. Persamaan kuadrat -3x² – 3x + 8 = 0 mempunyai satu akar real.
Jawabannya adalah a. Persamaan kuadrat 3x²−x−6=0 mempunyai dua akar real berbeda.
Soal 5
Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar real kembar. Jika a < 0 dan b = 0, nilai c yang mungkin adalah….
a. -3
b. 0
c. 1
d. 5
Jawaban yang benar adalah b. 0
Soal 6
Persamaan kuadrat x² – 6x + (p + 1) = 0 tidak mempunyai akar real. Nilai p yang memenuhi adalah….
a. p < 9
b. p < 8
c. p> 8
d. p > 9
Jawaban yang benar adalah c. p>8
Soal 7
Persamaan kuadrat (m + 1)x² + 2mx + (m +2) = 0 mempunyai dua akar real kembar. Nilai 24m adalah ….
a. -2
b. -8
c. -12
d. -16
Jawaban yang benar adalah d. −16
Soal 8
Akar-akar persamaan kuadrat x² + 16x – 8 = 0 adalah m dan n. Hasil penjumlahan kedua akar tersebut adalah….
a. -16
b. -8
c. 8
d. 16
Jawaban yang benar adalah a. -16
Soal 9
Persamaan kuadrat 2x² – 5x + 8 = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Nilai 10p + 10q – 3pq adalah
a. 25
b. 21
c. 13
d. 12
Jawaban yang benar adalah c. 13
Soal 10
Diketahui persamaan kuadrat x² – 13x + 40 = 0 dengan akar-akar m dan n. Jika m² – n² = 39, nilai m – n adalah….
a. 13
b. 3
c. -3
d. -13
Jawaban yang benar adalah b. 3
Soal 11
Persamaan kuadrat x² + mx + 45 = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Jika q < 0 dan p = 5q, nilai m adalah….
a. -20
b. -18
c. 18
d. 20
Jawaban yang benar adalah c. 18
Soal 12
Akar-akar persamaan kuadrat x² + 11x + 28 = 0 adalah….
a. x₁ = 4 atau x₂ = 7
b. x₁ = 4 atau x₂ = -7
c. x₁ = -4 atau x₂ = 7
d. x₁ = -4 atau x₂ = -7
Jawaban yang benar: d. x₁ =−4 atau x₂ =−7
Soal 13
Persamaan kuadrat x² – 9x – 22 = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Jika p < q, nilai p – q adalah
a. 9
b. -9
c. -13
d. -15
Jawaban yang benar adalah c. -13
Soal 14
Akar-akar persamaan kuadrat -2x² – 7x + 30 = 0 adalah….
a. x₁ = -6 atau x₂=5/2
b. x₁ = -6 atau x₂ =-5/2
c. x₁ = 6 atau x₂= 5/2
d. x₁ = 6 atau x₂= -5/2
Jawaban yang benar adalah a. x₁=−6 atau x₂=5/2
Soal 15
Persamaan kuadrat 3x² + 26x+ 35 = 0 mempunyai akar-akar m dan n. Jika m > n, nilai 12(m – n) adalah….
a. 84
b. 64
c. 48
d. 36
Jawaban yang benar adalah b. 64
Soal 16
Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat ax²- + bx – 4 = 0 adalah {-1/2, 4}. Nilai a dan b berturut-turut….
a. -2 dan -7
b. -2 dan 7
c. 2 dan -7
d. 2 dan 7
Jawaban yang benar adalah c. 2 dan -7
Soal 17
Persamaan kuadrat x² – 8x – 18 = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar p + q dan pq adalah ….
a. x²- 10x-144 = 0
b. x²-8x-144= 0
c. x²+10x-18= 0
d. x²+10x-144= 0
Jawaban yang benar adalah d. x²+10x−144=0
Soal 18
Persamaan kuadrat x² + 6x + 9 = 0 mempunyai akar-akar m dan n. Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar 2/m dan 2/n adalah …
a. x²- 4x + 4 = 0
b. 3x² -12x + 4= 0
c. 9x² + 4x + 4= 0
d. 9x² + 12x + 4= 0
Jawaban yang benar adalah d. 9x²+12x+4=0
Soal 19
Selembar kain dipotong sehingga berbentuk segitiga siku-siku.
GAMBAR
Jika luas kain tersebut 2.400 cm², panjang sisi tegak kain tersebut adalah …
a. 100 cm
b. 80 cm
c. 60 cm
d. 40 cm
Soal 20
Pak Rifan ingin membuat taman di halaman rumah. Taman tersebut dirancang berbentuk persegi panjang dengan luas 36 m². Lebar taman 5 meter kurang dari panjangnya. Beberapa pot hias akan diletakkan pada sekeliling taman. Jika jarak antarpot 2 meter, pot hias yang dibutuhkan sebanyak….
a. 6 buah
b. 7 buah
c. 13 buah
d. 26 buah
Jawaban yang benar adalah c. 13 buah
B. Isilah dengan jawaban yang benar!
Soal 1
Nilai diskriminan persamaan kuadrat 3x²- 4x – 5 =0 adalah….
Jawaban:
Diketahui persamaan kuadrat:
3x²-4x-5=0
Dengan a=3, b=-4, dan c=-5.
Rumus diskriminan:
D=b²-4ac
D=(-4)²-4(3)(-5)=16+60=76
Jadi, nilai diskriminannya adalah 76
Soal 2
Persamaan kuadrat 2x² – px + 6 = 0 mempunyai diskriminan -23. Nilai p yang memenuhi adalah … atau ….
Jawaban:
Diketahui:
2x²-px+6=0
Maka:
a=2, b=-p dan c=6
Diskriminan =-23
Gunakan rumus:
D=b²-4ac
-23=(-p)²-4(2)(6)
-23=p²-48
p²=25
p=\(\pm\) 5
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 5 atau -5.
Soal 3
Persamaan kuadrat (m² – 2)x² – 197x + (3m + 2) = 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan. Nilai m adalah… atau ….
Jawaban:
Diketahui persamaan:
(m²-2)x² – 197x + (3m+2) = 0
Akar-akarnya real dan berkebalikan, artinya jika akarnya x₁ dan x₂, maka:
x₁ x₂=1
Berdasarkan rumus hasil kali akar:
x₁x₂=\(\frac{c}{a}\)
Maka:
\(\frac{3m+2}{m²-2}\)=1
3m + 2 = m² – 2
m² – 3m – 4 = 0
Faktorkan:
(m – 4)(m + 1) = 0
Sehingga:
m=4 atau m=-1
Kedua nilai tersebut menghasilkan akar-akar real.
Jadi, nilai (m) adalah 4 atau -1.
Soal 4
Persamaan kuadrat x^2 + 3x – 7 = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar 1 – 1/p dan 1 – 1/q adalah…
Jawaban:
Diketahui persamaan kuadrat:
x²+3x-7=0
Akar-akarnya adalah (p) dan (q).
Kita ingin mencari persamaan baru dengan akar:
\(1-\frac1p \quad \text{dan} \quad 1-\frac1q\)
1. Gunakan jumlah akar
Dari persamaan awal:
p + q = -3
pq = -7
Jumlah akar baru:
\[\left(1-\frac1p\right)+\left(1-\frac1q\right)\]
\[=2-\frac{p+q}{pq}\]
\[=2-\frac{-3}{-7}\]\[=2-\frac37\]\[=\frac{11}{7}\]
2. Gunakan hasil kali akar baru
\[\left(1-\frac1p\right)\left(1-\frac1q\right)\]
\[=1-\frac1p-\frac1q+\frac1{pq}\]
\[=1-\frac{p+q}{pq}+\frac1{pq}\]
\[=1-\frac37-\frac17=\frac37\]
3. Bentuk persamaan kuadrat baru
Jika jumlah akar \(=\frac{11}{7}\) dan hasil kali akar \(=\frac37\), maka: \(x²-\frac{11}{7}x+\frac37=0\).
Kalikan 7:
7x²-11x+3=0
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah 7x²-11x+3=0.
Soal 5
Reza ingin membuat wadah pensil berbentuk balok. Tinggi dan volume balok yang ia inginkan berturut-turut 13 cm dan 624 cm³. Jika Panjang wadah 2 cm lebih dari lebarnya, panjang balok adalah… cm.
Jawaban:
Diketahui:
Tinggi (=13) cm
Volume (=624) cm³
Panjang (=2) cm lebih dari lebar
Rumus volume balok:
\[V=p\times l\times t\]
Misalkan: lebar =x, maka panjang = x + 2 .
624 = (x+2)(x)(13)
48 = x(x + 2)
x² + 2x – 48 = 0
Faktorkan:
(x+8)(x-6)=0
Karena ukuran tidak mungkin negatif, maka:
x=6
Jadi panjang:
p = x + 2 = 6 + 2 = 8
Jadi, panjang balok adalah 8 cm.
C. Kerjakan soal-soal berikut!
Soal 1
Tentukan nilai diskriminan persamaan-persamaan kuadrat berikut
a. x²- 4x +5 = 0;
b. -3x² + 7x – 6 = 0;
c. 6x²+5x-4 = 0
Jawaban:
Rumus diskriminan persamaan kuadrat:
D = b – 4ac
a. x² – 4x + 5 = 0
a = 1, b = -4, c = 5
D = (-4)² – 4(1)(5) = 16 – 20 = -4
Jadi, D= -4.
b. -3x² + 7x – 6 = 0
a = -3, b = 7, c = -6
D = 7² – 4(-3)(-6) = 49 – 72 = -23
Jadi, D = -23.
c. 6x² + 5x – 4 = 0
a = 6, b = 5, c = -4
D = 5² – 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121
Jadi, D = 121.
Soal 2
Diketahui persamaan kuadrat x² – 3x + (p + 10) = 0. Jika diskriminan persamaan kuadrat tersebut 225, tentukan:
a. nilai p;
b. akar-akar persamaan kuadrat.
Jawaban:
Diketahui:
x² – 3x + (p + 10) = 0
Diskriminan D = 225.
a. Menentukan nilai (p)
Dari persamaan tersebut:
a = 1, b = -3, c = p + 10
Gunakan rumus diskriminan:
D = b² – 4ac
225 = (-3)² – 4(1)(p + 10)
225 = 9 – 4p – 40
225 = -4p – 31
-4p = 256
p = -64
b. Menentukan akar-akar persamaan
Substitusikan p = -64 :
x² – 3x + (-64 + 10) = 0
x² – 3x – 54 = 0
Faktorkan:
(x – 9)(x + 6) = 0
Maka:
x = 9 atau x = -6
Soal 3
Tentukan nilai x₁ dan x₂ jika x₁ dan x₂ adalan akar-akar persamaan kuadrat berikut.
a. 2x² – 3x – 35 = 0
b. 3x² + 23x – 36=0
c. 5x² + 41x + 8 = 0
Jawaban:
Tentukan akar-akar masing-masing persamaan kuadrat.
a. 2x² – 3x – 35 = 0
Faktorkan:
2x² – 3x – 35 = (2x – 7)(x + 5) = 0
Maka:
\(2x – 7 = 0 \Rightarrow x₁ = \frac72\)
\(x + 5 = 0 \Rightarrow x₂ = -5\)
Jadi,
\({x₁=\frac72,\quad x₂=-5}\)
b. 3x² + 23x – 36 = 0
Faktorkan:
3x² + 23x – 36 = (3x-4)(x+9) = 0
Maka:
\(3x-4=0 \Rightarrow x₁=\frac43\)
\(x+9=0 \Rightarrow x₂=-9\)
Jadi,
\({x₁=\frac43,\quad x₂=-9}\)
c. 5x² + 41x + 8 = 0
Faktorkan:
5x² + 41x + 8 = (5x+1)(x+8) = 0
Maka:
\(5x+1=0 \Rightarrow x₁=-\frac15\)
\(x+8=0 \Rightarrow x₂=-8\)
Jadi,
\({x₁=-\frac15,\quad x₂=-8}\)
Soal 4
Diketahui persamaan kuadrat 2x² + 3x – 8 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar:
a. -2p dan -2q;
b. 4p – 3 dan 4q – 3.
Jawaban:
Diketahui:
2x² + 3x – 8 = 0
Akar-akarnya adalah (p) dan (q).
Dari rumus jumlah dan hasil kali akar:
\(p+q=-\frac32\)
pq = -4
a. Akar-akar baru: -2p dan -2q
Jumlah akar baru:
-2p + (-2q) = -2(p + q)
\(=-2\left(-\frac32\right)=3\)
Hasil kali akar baru:
(-2p)(-2q) = 4pq = 4(-4) = -16
Maka persamaan kuadratnya:
x² – 3x – 16 = 0
Jadi, \({x^2-3x-16=0}\)
b. Akar-akar baru: (4p – 3) dan (4q – 3)
Jumlah akar baru:
(4p – 3) + (4q – 3)
= 4(p + q) – 6
\(=4\left(-\frac32\right)-6\) = -6 – 6 = -12
Hasil kali akar baru:
(4p – 3)(4q – 3)
= 16pq – 12p – 12q + 9
=16pq – 12(p + q) + 9
=\(16(-4)-12\left(-\frac32\right)+9\)
= -64 + 18 + 9 = -37
Maka persamaan kuadratnya:
x² – (-12)x + (-37) = 0
\({x²+12x-37=0}\)
Soal 5
Hasil kali berat badan Ani dan Bambang adalah 1.400 kg. Berat badan Bambang 5 kg lebih dari berat badan Ani. Tentukan:
a. berat badan Ani;
b. jumlah berat badan mereka.
Jawaban:
Misalkan berat badan Ani (x) kg.
Berat badan Bambang (x+5) kg.
Diketahui hasil kali berat badan mereka:
x(x + 5) = 1400
x² + 5x – 1400 = 0
Faktorkan:
(x + 40)(x – 35) = 0
Sehingga:
\(x=-40 \quad \text{atau} \quad x=35\)
Karena berat badan tidak mungkin negatif, maka:
x=35
a. Berat badan Ani
x = 35 kg
Berat badan Bambang:
35 + 5 = 40 kg
b. Jumlah berat badan mereka
35 + 40 = 75
Jadi, berat Ani adalah 35 kg dan jumlah berat mereka adalah 75 kg.
Sekian pembahasan kita tentang “30 Soal Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Kelas 9 SMP“. Semoga bermanfaat.
