Cara Menentukan Nilai Determinan Suatu Matriks

Determinan (bahasa Inggris: determinant) adalah nilai skalar yang dihasilkan fungsi dari entri-entri suatu matriks persegi. Determinan dari matriks A umumnya dinyatakan dengan notasi det(A), det A, atau |A|. Pada kesempatan kali ini, saya akan berbagi tips atau cara-cara yang dapat digunakan untuk mencari nilai determinan suatu matriks.

Namun sebelumnya berikut ini merupakan link-link yang Gengs dapat gunakan untuk mempelajari apa itu determinan suatu matriks. Diantaranya :
1. Rangkuman Metode Minor Kofator dan Sarrus
2. Metode Minor Kofaktor
3. Transpos Matriks dan Determinan Suatu Matriks Segi

Setelah mempelajari materinya, berikut ini merupakan contoh serta cara menentukan determinan suatu matriks.

Minor-Kofaktor
Pertama. Cara pertama yaitu dengan metode minor-kofaktor
Catatan:
Misalkan A merupakan matriks segi berukuran n x n
Jika n = 1 maka determinan dari matriks A [det(A)] = \(a_{11}\)
Jika n > 1 (lebih dari satu) maka determinan dari matriks A yaitu
1. Saat i merupakan bilangan sembarang,  \(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha _{ij}\). i merupakan baris dan j merupakan kolom.
2. Saat j merupakan bilangan sembarang, \(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\alpha _{ij}\). i merupakan baris dan j merupakan kolom

Catatan:
misalkan \(A=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}\) adalah matriks n x n, maka:
a. \(M_{ij}\) adalah minor elemen \(a_{ij}\) yaitu determinan anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.
b. Kofaktor \(A_{ij}\) dari \(a_{ij}\) didefinisikan sebagai \(\alpha _{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\).

Contoh:
Tentukan determinan matriks A berikut ini.
\(A=\begin{pmatrix} 3 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &1 \end{pmatrix}\)
Jawab:
Untuk menjawab soal tersebut, mari perhatikan catatan di atas. Pada catatan di atas, apabila n-nya lebih dari 1 [ukuran matriks] maka kita bisa gunakan (1) atau (2). Pada contoh pertama ini akan saya gunakan (1). Apabila menggunakan cara (1) maka kita harus tentukan sembarang i [baris matriks], pada contoh ini saya gunakan baris ke-2.

Sehingga, berikut ini adalah jawabannya.
det(A) = \(\sum_{j=1}^{3}a_{2j}\alpha _{2j}\)
det(A) = \(a_{21}\alpha _{21}+a_{22}\alpha _{22}+a_{23}\alpha _{23}\)

Selanjutnya kita mesti mengetahui nilai alfa-nya denga cara seperti pada catatan di atas:
1. \(\alpha _{21}=(-1)^{2+1}M_{21}\)
\(\alpha _{21}=-\begin{vmatrix} -2 &1 \\ -3& 1 \end{vmatrix}\)
\(\alpha _{21}=-[(-2)(1)-(-3)(1)]=-1\)
2. \(\alpha _{22}=(-1)^{2+2}.M_{22}\)
\(\alpha _{22}=\begin{vmatrix} 3 &1 \\ 0& 1 \end{vmatrix}\)
\(\alpha _{22}=[(3)(1)-(0)(1)]=3\)
3. \(\alpha _{23}=(-1)^{2+3}.M_{23}\)
\(\alpha _{23}=-\begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 0 &-3 \end{vmatrix}\)
\(\alpha _{23}=-[(3)(-3)-(0)(-2)]=9\)

Sedangkan untuk nilai a-nya diperoleh dari matriks A, dimanya:
\(a_{21}=1\) ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-1)
\(a_{22}=3\) ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-2)
\(a_{23}=2\) ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-3)

Langkah terakhir yaitu masukkan nilai alfa dan a yang telah diperoleh ke rumus det(A) tersebut,
det(A) = (-1)(1) + (3)(3) + (9)(2) = 26

CATATAN:

Dalam pemilihan baris atau kolom yang digunakan tidak perlu dipersoalkan karena akan menghasilkan determinan yang sama.
Lebih mudah untuk menggunakan baris atau kolom yang mempunyai elemen nol.
Untuk matrika berukuran sama diproses dengan cara yang sama.

Menggunakan Sifat-Sifat Determinan
1. det(A) = \(\det(A^{T})\)
CONTOH:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 & 8& 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &4 &7 \\ 2 &5 &8 \\ 3 &6 &9 \end{pmatrix}\)

2. Jika 2 baris atau kolom matrils A dipertukarkan maka diperoleh matriks B.
det(B) = – det (A)
CONTOH:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 & 8& 9 \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 4 &5 &6 \\ 1 &2 &3 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}\)
\(=-\begin{pmatrix} 4 &6 &5 \\ 7 &9 &8\\ 1 &3 &2 \end{pmatrix}\)

3. Jika suatu baris atau kolom digandakan dengan skalar k sehingga didapat matriks B.
det(B) = k det(A)
CONTOH:
\(\begin{pmatrix} 2 &4 &6 \\ 4 &5 &6 \\ 7 & 8& 9 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}\)

4. Jika suati baris atau kolom matriks A ditambah dengan k kali baris atau kolom lainnya sehingga didapat matriks B
det(A) = det (B)
CONTOH:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 4 & 5& 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &8 \\ 4 &5 &6 \end{pmatrix}\)
Baris kedua matriks B diperoleh dengan cara menjumlahkan antara baris pertama yang dikali dua dengan baris keduanya.

5. Jika ada satu baris atau kolom yang semua elemennya nol maka det(A) = 0
CONTOH:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &0 &0 \\ 4 & 5& 6 \end{pmatrix}=0\)
\(\begin{pmatrix} 0 &2 &3 \\ 0 &4 &2 \\ 0 & 5& 6 \end{pmatrix}=0\)

6. Jika ada satu baris atau kolom yang merupakan kelipatan dari baris atau kolom maka det(A) =0
CONTOH:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &4 &6 \\ 7 & 8& 9 \end{pmatrix}=0\)
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &5 \\ 2 &4 &7 \\ 3 &6 & 8 \end{pmatrix}=0\)

7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah maka determinan merupakan perkalian unsur-unsur diagonal utamanya.
CONTOH:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &5 \\ 0 &4 &7 \\ 0 &0 & 8 \end{pmatrix}=(1)(4)(8)=32\)
\(\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 9 &2 &0 \\ 3 &4 & 8 \end{pmatrix}=(1)(2)(8)=16\)

8. Jika matriks segi A dan Segi B memiliki ukuran yang sama maka det(AB) = det(A) det(B)
CONTOH:
\(A=\begin{pmatrix} 3 &1 \\ 2 &1 \end{pmatrix}\)
det(A) = (3)(1) – (2)(1) =1
\(B=\begin{pmatrix} -1 &3 \\ 5 &8 \end{pmatrix}\)
det(B) = (-1)(8) – (5)(3) = -23
\(AB=\begin{pmatrix} 3&1 \\ 2 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 &3 \\ 5 &8 \end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix} 3(-1)+1.5&3.3+1.8 \\ 2(-1)+1.5 &2.3+1.8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 &17 \\ 3 & 14 \end{pmatrix}\)
det(AB) = (2)(14) – (3)(17) = -23

Menggunakan Operasi Baris Dasar
Contoh:
Tentukan determinan matriks A dengan menggunakan operasi baris dasar (OBD) berikut ini.
\(A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \\ 2 &1 &2 \end{pmatrix}\)
Jawaban:
\(\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \\ 2 &1 &2 \end{pmatrix}\rightarrow ^{E_{21(-1)}}\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &-1 &1 \\ 2 &1 &2 \end{pmatrix}\)
\(\rightarrow ^{E_{31(-2)}}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &-3 & -4 \end{pmatrix}\)
\(\rightarrow ^{E_{32(-3)}}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &0 & -7 \end{pmatrix}\)
det(A) = (1)(-1)(-7) = 7

Untuk berlatih lebih banyak soal tentang matriks, Gengs dapat membuka link-link berikut ini:
1. Contoh Soal Matriks Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Dan Campuran – Plus Jawabannya
2. Contoh Soal Matriks Invers dan Pembahasan

Demikian contoh-contoh soal dan pembahasan tentang “Cara Menentukan Nilai Determinan Suatu Matriks“.
Semoga bermanfaat.